En muchos sistemas prácticos, la energía de vibración es gradualmente convertida en calor o sonido. Debido a la reducción de la energía, el desplazamiento del






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Elementos amortiguadores

En muchos sistemas prácticos, la energía de vibración es gradualmente convertida en calor o sonido. Debido a la reducción de la energía, el desplazamiento del sistema, ve decreciendo gradualmente. El mecanismo por el cual la energía de vibración es convertida en calor o sonido es conocido como amortiguamiento. En muchos sistemas la energía convertida en calor o sonido es relativamente muy pequeña, la consideración del amortiguamiento se vuelve importante para una predicción precisa de la respuesta vibratoria del sistema. Un amortiguador se considera sin masa y sin elasticidad y la fuerza de amortiguamiento solo existe si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.
Es difícil determinar las causas del amortiguamiento en los sistemas prácticos. En consecuencia el amortiguamiento es modelado de las siguientes maneras.




AMORTIGUAMIENTO VISCOSO.
El amortiguamiento viscoso es el mecanismo mas usado en el análisis de vibración. Cuando el sistema mecánico vibra dentro de un fluido como aire, gas, agua, aceite, la resistencia ofrecida por el fluido al movimiento del cuerpo, causa que la energía se disipe. En este caso la energía disipada depende de varios factores, como el tamaño y forma del cuerpo, la viscosidad del fluido, la frecuencia de vibración, y la velocidad del cuerpo. Ejemplos típicos de amortiguamiento viscoso son

1.- Una película de fluido entre superficies deslizantes.

2.-Un flujo de fluido alrededor de un pistón y un cilindro.

3.- Flujo de fluido a través de un orificio.

4.- Una película de fluido en un cojinete.


AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB O DE FRICCIÓN SECA.
En este caso la fuerza de amortiguamiento es constante en magnitud pero opuesta al movimiento del cuerpo en vibración. El amortiguamiento es causado por la fricción entre las superficies rugosas que están secas o no tienen suficiente lubricación


AMORTIGUAMIENTO SOLIDÓ, MATERIAL O DE HISTÉRESIS
Cuando un material es deformado, la energía es absorbida y disipada por el material, el efecto es causado por la fricción entre los planos internos, los cuales se deslizan entre si, conforme la deformación tome lugar.
Cuando un cuerpo con amortiguamiento solidó es sometido a vibración, el diagrama de esfuerzo-deformación muestra un lazo de histéresis como el indicado el la figura 1, el área de este lazo muestra la energía perdida por unidad de volumen por cada ciclo debido al amortiguamiento.


Figura 1

VIBRACION LIBRE CON AMORTIGUACION VISCOSA
La amortiguación viscosa de la fuerza F es proporcional a la velocidad de o v y puede ser expresada como:
……. Ecuación 2.58
Donde c es la constante de amortiguación o coeficiente de amortiguación viscosa y el signo negativo que la fuerza de amortiguación es opuesta a la dirección de la velocidad. Un signo del estado libre del sistema con una amortiguación viscosa se muestra en la figura 2.21. Si x es medida desde la posición de equilibrio de la masa m, la aplicación de la ley de Newton produciendo la ecuación de movimiento.

Ó

….. Ecuación 2.59





Al resolver la ecuación 2.59, nosotros asumimos una solución en la forma:
….. Ecuación 2.60
Donde C y s son constantes indeterminadas. Insertando esta función dentro de la ecuación 2.59 lleva a las características de la ecuación.
…… 2.61

Las raíces de la ecuación anterior son.
…… Ecuación 2.62
Estas raíces tienen 2 soluciones a la ecuación 2.59:
y Ecuación 2.63
De este modo la solución de la ecuación 2.59 esta dada en combinación de las 2 soluciones x1(t) y x2(t):

..
Ecuación 2.64
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias que se determinaran de la condición inicial del sistema.

AMORTIGUAMIENTO CRITICO CONSTANTE Y RAZÓN DE AMORTIGUAMIENTO.
El amortiguamiento critico Cc esta definido con el valor de la constante de amortiguamiento C, por el radical de la ecuación 2.62, empezando de cero:
O …. Ecuación 2.65
Para algún sistema viscoso la razón de amortiguamiento ζ es definida por la razón de amortiguamiento constante a la razón constante crítica:
….. Ecuación 2.66
Usando al ecuación 2.66 y 2.65, podemos escribir:


Y de la ecuación anterior.


VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO DE HISTÉRESIS.
Considerando el arreglo elasticidad amortiguamiento mostrado en la figura 2. En este sistema, la fuerza necesaria (F) para causar desplazamiento x(t) esta dada por

…..1
Para un movimiento armonico de frecuencia ω y amplitud X,

…..2
Las ecuaciones 1 y 2 nos producen



………3



Figura 2

Cuando F contra x son graficadas (ecuación 3), representan un lazo cerrado, como se muestra en la figura 2b. El área del lazo denota la energía disipada por el amortiguador en un ciclo de movimiento y esta dada por

…….4
El amortiguamiento causado por la fricción entre los planos internos que se deslizan entre si cuando el material es deformado es llamado amortiguamiento de histéresis (solidó o estructural). Este causa un lazo de histéresis en el diagrama esfuerzo-deformación (figura 3a) o en el diagrama de fuerza- desplazamiento. La energía perdida en un ciclo (carga y descarga) es igual al área del lazo. La similitud entre el diagrama 2 b y 3 a puede ser usada para definir una constante de amortiguamiento de histéresis.



Figura 3

Experimentalmente se encontró que la energía perdida durante cada ciclo debido ala la fricción interna es independiente de la frecuencia, pero es aproximadamente proporcional al cuadrado de la amplitud. Para tomar en cuenta el comportamiento observado en la ecuación 3, el coeficiente de amortiguamiento c se asume que es inversamente proporcional a la frecuencia.
…….5

Donde h es la constante de amortiguamiento de histéresis. Las ecuaciones 4 y 5 nos dan.



RIGIDEZ COMPLEJA.
En la figura 1 el resorte y el amortiguamiento están conectados en paralelo, y para el movimiento armónico , la fuerza esta dada por
……..6
De manera similar, si un resorte y un amortiguamiento de histéresis están conectados en paralelo, como se muestra en la figura 2 b, la relación de fuerza desplazamiento puede ser expresada

……..7

Donde

…….8

Es llamada rigidez compleja del sistema y es una constante indicadora de las medidas dimensionales del amortiguamiento.
Respuesta del sistema.

En términos de , la energía perdida por ciclo puede ser expresada como

………….9

Bajo un amortiguamiento solidó, el movimiento puede ser considerado de manera aproximada armonico (mientras sea pequeña), y el decremento en amplitud por cada ciclo puede ser determinado por medio de un balance de energía. Por ejemplo, las energías en el punto P y Q (separadas por la mitad de un ciclo) en la figura 3 están relacionadas por
O ……………10



Figura 3
De manera similar, las energías en los puntos Q y R dan

……… 11

La multiplicación de las ecuaciones 10 y 11 nos da

constante……..12

El decremento logarítmico puede ser definido como

……..13
Como se asume que el movimiento es aproximadamente armónico, la frecuencia correspondiente esta definida por

………..14

La relación equivalente de amortiguamiento viscoso puede ser encontrada igualando las relaciones para el decremento logarítmico .



………15

La constante equivalente de amortiguamiento esta dada por

………16

Nota.

El método de encontrar un equivalente viscoso del coeficiente de amortiguamiento para un sistema de amortiguamiento estructural es valido solo para movimiento armónico. El análisis anterior asume que el sistema responde de manera aproximadamente armónica a la frecuencia .

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