Es una ciencia matemática que se ocupa de la recolección, análisis, interpretación o explicación, y presentación de datos. También incluye la predicción y






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Momento
El concepto de momento en matemáticas evolucionó del concepto de momento en física. El momento n de una función real de una variable real alrededor de un valor C es

Los momentos alrededor de cero usualmente se les llaman simplemente los momentos de una función. Usualmente, con excepción del contexto especial del problema de momentos, la función será una función de densidad de probabilidad. El momento n alrededor de cero de una f.d.p. f(x) es el valor esperado Xn. Los momentos alrededor de la media μ son llamados momentos centrales; los cuales describen la forma de la función, independientemente de traslación.
Significado de los momentos
El primer momento alrededor de 0, si existe, es la expectativa de X; es decir, la media de la distribución de probabilidad de X, designada μ. El momento central n de la distribución de probabilidad de una variable X es

Por consiguiente, el primer momento central es 0. El segundo momento central es la varianza σ2, de la cual la raíz cuadrada positiva es la desviación estándar σ. El momento n normalizado o momento estandarizado es el momento central n dividido entre σn, es decir (μnn). Estos momentos centrales normalizados son cantidades sin dimensión, que representan la distribución independientemente de cualquier cambio lineal de escala. Así, el primer momento estandarizado es 0, porque el primer momento alrededor de la media es cero. El segundo momento normalizado es 1, porque el segundo momento es igual a la varianza.
El tercer momento central es una medida del sesgo de una distribución, cualquier distribución simétrica tendrá un tercer momento central, si definido, de 0. El tercer momento central normalizado es llamado asimetría, usualmente γ. Una distribución que es asimétrica a la izquierda (la cola de la distribución es mas larga y flaca a la izquierda y gorda a la derecha) tendrá una asimetría negativa. Una distribución que es asimétrica a la derecha (la cola de la distribución es mas gorda a la izquierda y larga y flaca a la derecha) tendrá una asimetría positiva. Para distribuciones que son muy parecidas a la distribución gaussiana, la mediana estará algo cerca de μ - γσ/6, la moda alrededor de μ - γσ/2.
El cuarto momento central normalizado se llama curtosis, es una medida de si la distribución es alta y flaca, o baja y achatada; comparada a la distribución normal con la misma varianza. Como es la expectativa de una cuarta potencia, el cuarto momento, donde definido, siempre es positivo; y exceptuando la distribución punto (degenerada), es estrictamente siempre positiva. El cuarto momento central de una distribución normal es 3σ4.
Parámetro
Medida auxiliar. Es una cantidad que define ciertas características de sistemas o funciones. Un parámetro no es una variable. Los parámetros son medidas específicas, mientras que las variables… varían. Los parámetros no son constantes. Las constantes no cambian, mientras que los parámetros pueden cambiar. Ej: media, desviación estándar, máximo, moda, etc. Es de notar que un estadístico si puede ser un parámetro. La estimación de parámetros es uno de los focos de atención de la estadística y econometría.
Estimador
Es una función de los datos muestrales observables usada para estimar un parámetro poblacional desconocido (el estimando). Un estimado es el resultado de la aplicación de dicha función a una muestra particular de datos.
Promedio (“Average”)
Tendencia central de un conjunto de datos. Se refiere a una medida del “medio”, centro, o valor “esperado” de un set de datos. Un promedio es un valor que pretende tipificar y representar una lista de valores. Los estadísticos más comunes para expresar el promedio son la media, la mediana, y la moda.

Media
Describe la ubicación central de los datos. Se estila a utilizar este término para referirse a la media aritmética (y se distingue de media geométrica, media armónica, etc.), o al valor esperado de una variable aleatoria, que también se llama media poblacional. Es por ello que en estos sentidos la media no es un promedio, dado que existen varios tipos de promedio.
Para una variable aleatoria real X, la media es la expectativa de X. No toda distribución de probabilidad tiene una media definida, Ej. la distribución de Cauchy.
Media Aritmética
Es la media “estándar” que se utiliza, simplemente llamada media. Se define como la sumatoria de los componentes de una lista dividido entre la cantidad de miembros de la lista. De otra forma, es la sumatoria de un conjunto de números dividido entre la cantidad de números. Si la lista es una población estadística se le llama Media Poblacional. Si la lista es una muestra estadística se le llama Media Muestral. Ambas se calculan de la misma manera.

Se utiliza μ para denotar la media aritmetica de toda la población. Para una variable aleatoria que tiene una media definida, μ es la media probabilística o valor esperado del numero aleatorio. En la practica μ no se observa porque solo se tiene una muestra en vez de toda la población. Por la ley de los números grandes, se utiliza la media muestral para estimar valores esperados desconocidos.
La media de n+1 es mayor que la media de n si y solo si el nuevo numero es mayor a la vieja media, menor si y solo si es menor, y se mantiene estable si y solo si es igual. Mientras más grande es n, menor será la magnitud del cambio en la media relativo a la distancia entre la vieja media y el nuevo numero (el numero se diluye). La media aritmetica no es un estadístico robusto, generalmente siendo influenciado por valores extremos. Esto es notable en distribuciones asimetricas, donde la mediana seria una mejor descripción de tendencia central; o en distribuciones inciertas donde la moda podría funcionar mejor.
Media Geométrica
Utilizada para conjuntos de números positivos que son interpretados de acuerdo a su producto en vez de su suma, o son exponenciales en naturaleza. Ej. Tasas de crecimiento poblacional, tasas de retorno en finanzas. Se define como la raíz n esima del producto de n datos.

Se caracteriza por ser menor a la media aritmética del mismo conjunto de datos. Solo aplica para números positivos. Es preferida como medida central de valores expresados en porcentajes por tomar en cuenta el punto de partida de cada porcentaje sucesivo, para así calcular rendimientos anualizados.
Mediana
Valor que ocupa el lugar central cuando los datos están ordenados en sentido creciente (si es impar). Si es par se tiende a mencionar los dos valores centrales o calcular el promedio de los mismos. Es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que si misma. Un intervalo mediano es el intervalo que contiene dicho dato.
Moda
Es el dato que más se repite en un conjunto de datos u observaciones. Si existen dos datos que se repite un número igual de veces entonces el conjunto será bimodal.
Esperanza
La esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Para una variable aleatoria discreta la esperanza se calcula como


Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad f(x)

La esperanza también se suele simbolizar con μ. No todas las variables tienen un valor esperado, Ej. La distribución de Cauchy. El termino esperanza se utiliza cuando se habla de distribución de probabilidad; cuando se trata de una muestra se habla de media. El valor esperado de una constante es igual a la constante misma. Si X y Y son variables aleatorias tal que X ≤ Y, entonces E[X] ≤ E[Y].
Desviación
Es una medida de diferencia para intervalos y variables de tasas entre el valor observado y la media. El signo de la desviación, positivo o negativo, indica si el valor es mayor o menor que la media. La magnitud del valor (en la escala relevante) indica que tan diferente e la observación de la media. Una característica de la media es que la suma de las desviaciones a través del conjunto completo de observaciones siempre es cero.

Varianza
Es una medida de la dispersión de una variable aleatoria X respecto a su esperanza E[X]. Se define como la esperanza de la transformación (X – E[X])2. Esto es V(X) = E[(X – E[X])2]. La varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
Desviación Estándar (Aritmética)
La desviación típica es una medida que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable. Es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto de la media aritmética. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca a la media. La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre.
Desviación Estándar Geométrica
Describe la dispersión de los datos con respecto a la media geométrica. A diferencia de la desviación estándar aritmética, la geométrica no es una cantidad (aditiva), es un factor (multiplicativo).

Asimetría
Es el tercer momento estándar de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de número real. También se conoce como coeficiente de asimetría. Se define como γ1 = μ33 donde μ3 es el tercer momento en torno a la media y σ es la desviación estándar. El riesgo de asimetría denota que las observaciones no están esparcidas simétricamente alrededor del valor central. Como resultado, la media y la mediana son diferentes. Es importante en modelos que se basan en distribuciones simétricas. El riesgo de asimetría tiene implicaciones técnicas en el cálculo del valor en riesgo, si no se toma en cuenta el VAR tendrá fallos.
Curtosis
Es el cuarto momento estándar. Es una medida de lo "picudo" (concentrada en torno a la media) de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de número real. Una mayor curtosis implica que la mayor parte de la varianza es debida a desviaciones infrecuentes en los extremos, que se oponen a desviaciones comunes de medidas menos pronunciadas. Se define como γ2 = μ44, donde μ4 es el cuarto momento en torno a la media.
La definición “moderna” se conoce como exceso de curtosis. Esta es γ2 = (μ44) – 3. La sustracción del 3 al final de la fórmula es una corrección que se hace a la curtosis de una distribución normal estándar (curtosis = 3). Una distribución puede ser leptocurtica, mesocurtica, o platicurtica.
El riesgo de curtosis denota que las observaciones están esparcidas de una manera mas ancha que la distribución normal. Es decir, menos observaciones están alrededor de la media y mas observaciones están en los extremos.
Coeficiente de Variación
Es útil para comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante ante cambios de escala. Por otro lado presenta problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media de por tanto un valor positivo. Se calcula como Cv = σ/μ. Solo esta definido para media distinta de 0. Es útil para datos medidos a escala de razones, pero no muy útil a escala de intervalos.
Medida de intervalo
En este tipo de medida, los números asignados a los objetos tienen todas las características de las medidas ordinales, y además las diferencias entre medidas representan intervalos equivalentes. Esto es, las diferencias entre una par arbitrario de medidas puede compararse de manera significativa. Por lo tanto, operaciones tales como la adición, la sustracción tienen significado. El punto cero de la escala es arbitrario y se pueden usar valores negativos.
Medida racional
Los números asignados a los objetos tienen todas las características de las medidas de intervalo y además tienen razones significativas entre pares arbitrarios de números. Operaciones tales como la multiplicación y la división tienen significado. La posición del cero no es arbitraria para este tipo de medida. Las variables para este nivel de medida se llaman variables racionales.
Mínimo
Dato que representa el valor mínimo en un conjunto de datos.
Máximo
Dato que representa el valor máximo en un conjunto de datos.
Sesgo
La diferencia entre el valor esperado de un estimador y el verdadero valor del parámetro estimado.
Estimador Insesgado
Función que toma en cuenta el sesgo de una estimación. En algunas situaciones, si no se tiene cuidado, su utilización puede llevar a resultados absurdos. Ej. La varianza muestral no es representativa de la varianza poblacional. Esto se debe a que la media muestral, por definición, esta en el medio de la muestra; pero el “medio” de la población puede bien estar fuera del rango muestral. Es por ello que la varianza muestral necesita ser multiplicada por un factor de normalización para ser algo representativa de la población.
Error
Es la diferencia entre el valor medido o estimado y el verdadero valor observado.
Error Medio
Es el valor esperado de los errores (la media de los errores).
Error Estándar
Es una medida que estima la desviación estándar de los errores. El verdadero valor de la desviación de los errores es desconocida, por ello este valor es un estimado y esto se debe tomar en cuenta.
Error Estándar Medio
Es un estimado del error esperado en el estimado muestral de la media poblacional. Se define como la desviación estándar muestral dividida entre la raíz cuadrada de la cantidad muestral. SE = s/√n Independencia en las cantidades medidas es un requisito. Si se asume que los datos siguen una distribución normal, el error estándar y la media muestral se pueden utilizar para calcular intervalos de confianza para la media.
Frecuencia
La cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable. Formalmente, es el número n de veces que un evento i ocurre en un experimento o estudio. Usualmente se representan por medio de histogramas.
Frecuencia Absoluta
Es el número de veces que el valor aparece en el estudio. Formalmente, se habla de frecuencia absoluta cuando la cantidad n de repeticiones es dada.
Frecuencia Relativa
Es el cociente de la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. Formalmente, se habla de frecuencia relativa cuando la cantidad n de repeticiones e normalizada por el número total de eventos.
Percentil
Es el valor de una variable bajo el cual determinado porcentaje de las observaciones caen. Ej. El percentil 20% es el valor que por debajo del cual el 20% de las observaciones se encuentran.
Tablas de Contingencia
Se usan para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales), variables categóricas.
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