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Estadística
Es una ciencia matemática que se ocupa de la recolección, análisis, interpretación o explicación, y presentación de datos. También incluye la predicción y pronostico basado en datos. Es aplicable a una gran variedad de disciplinas como las ciencias naturales, ciencias sociales, humanidades, gobierno, y los negocios.
Los métodos estadísticos se pueden usar para resumir o describir una colección de datos; esto es llamado Estadística Descriptiva. Además, patrones en los datos se pueden modelar de manera que tomen en cuenta la aleatoriedad e incertidumbre en las observaciones, y son utilizados para obtener inferencias sobre los procesos o poblaciones en estudio; esto es llamado Estadística Inferencial. La estadística descriptiva, predictiva, e inferencial conforman la Estadística Aplicada.
Ejemplos de estadística descriptiva lo son la media y la desviación estándar como descriptores numéricos. Los histogramas son resúmenes gráficos. Ejemplos de estadística inferencial lo son pruebas de hipótesis para contestar preguntas si/no, estimación para estimados de características numéricas, correlación para descripciones de asociación, regresión para modelación de relaciones. Otras técnicas incluyen análisis de varianza, series de tiempo, y minería de datos.
La Estadística Matemática se ocupa de las bases teóricas del tema. Esto lo hace desde una posición puramente matemática, utilizando teoría de probabilidad así como otras ramas de matemática como el álgebra lineal y análisis.
La Estadística Exacta fue desarrollada para proveer resultados más precisos en las pruebas estadísticas y estimación de intervalos mediante la eliminación de procedimientos basados en métodos estadísticos aproximados y asintóticos. La característica principal de los métodos exactos es que las pruebas estadísticas y los intervalos de confianza están basados en enunciados de probabilidad exactos que son validos para cualquier tamaño muestral.
Cuando p-valores exactos e intervalos de confianza son calculados bajo ciertas distribuciones, entonces los métodos usados son referidos como Métodos Paramétricos. Los métodos exactos que no hacen supuesto alguno sobre la distribución son referidos como Métodos No Paramétricos. Los métodos no paramétricos tienen la ventaja de no asumir muchas cosas, mientras que los métodos paramétricos tienden a dar pruebas más poderosas cuando los supuestos de distribución son razonables. Para métodos avanzados como ANOVA de n vías (n > 1), regresión, y modelos mixtos, solo hay métodos paramétricos.
Los campos de economía, finanzas, mercadeo, y negocios hacen uso de la estadística para estudiar, analizar, y comprender el entorno dado la ausencia de certidumbre y conocimiento perfecto. También hacen uso de métodos cuantitativos como la investigación de operaciones y programación (tanto matemática como computacional). Los campos de la física e ingeniería han brindado grandes aportes a estas áreas de estudio dado la naturaleza rigurosa de las técnicas utilizadas.
La estadística se presta a ser utilizada de mala manera dado el grado de objetividad subjetividad en la interpretación de los datos y la información obtenida.

Teoría de la Probabilidad
Es una rama de las matemáticas que se ocupa del análisis de fenómenos aleatorios. Los objetos centrales de la teoría de la probabilidad son variables aleatorias, procesos estocásticos, y eventos. Por ejemplo, aunque un simple lanzamiento de una moneda o la tirada de un dado es un evento aleatorio, si se repite muchas veces dicha secuencia de eventos aleatorios exhibirá cierto patrones estadísticos, que pueden ser estudiados y predichos.
Dos resultados matemáticos representativos que describen dichos patrones son los Teoremas Fundamentales de la Probabilidad: La ley de los números grandes y el teorema del límite central. Esto surge como respuesta al problema general de ¿Cuál es la conducta limitante de Sn a medida que n → ∞? Estos dos teoremas son soluciones parciales.
Como fundamento matemático de la estadística, la teoría de la probabilidad es esencial para las actividades que usan análisis cuantitativo de grandes conjuntos (sets) de datos. Métodos de teoría de la probabilidad también se usan para la descripción de sistemas complejos bajo conocimento parcial de sus estados.
Evento
Abstracción matemática de eventos no determinísticos o cantidades medidas que pueden ser ocurrencias singulares (simples, únicas) o evolucionar en el tiempo de manera aparentemente aleatoria. Es un conjunto de resultados (un subconjunto del espacio muestral) al que una probabilidad es asignada.
Cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento. Sin embargo, cuando el espacio muestral es infinito es posible y necesario excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral para que no sean eventos.
Notación
Si X es una variable aleatoria con valor Real definida en el espacio muestral Ω, el evento



puede ser escrito de manera más conveniente como



Esto es especialmente común en formulas para una probabilidad, como


Evento Complementario
El complemento de un evento A es el evento [no A]; es decir, el evento de que A no ocurra. El evento A y su complemento [no A] son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Generalmente, solo hay un evento B tal que A y B son ambos mutuamente excluyentes y exhaustivos; ese evento es el complemento de A. El complemento de un evento A a veces se denota A’.

Evento Independiente
Un evento independiente es aquel cuya probabilidad de ocurrencia no depende de la ocurrencia de otro evento. Intuitivamente, dos eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no hace que sea más o menos probable la ocurrencia del otro. Similarmente, dos variables aleatorias son independientes si la distribución de probabilidad condicional de cualquiera, dado el valor observado del otro, es la misma que si el valor del otro no hubiese sido observado.
Formalmente, dos eventos A y B son independientes si y solo si P(A∩B)=P(A)P(B)
A nivel general, cualquier colección de eventos – posiblemente más de dos – son mutuamente independientes si y solo si para cualquier subconjunto finito A1, …, An de la colección tenemos



Esto es llamado la regla multiplicativa de eventos independientes.
Lo siguiente no es tomado como la definición de independencia: Si dos eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad condicional de A dado B es la misma que la probabilidad marginal (incondicional) de A, es decir, P(A|B)=P(A). Esto se debe a que el enunciado tiene problemas cuando se trata de eventos de probabilidad 0, porque por definición


Independencia no tiene el mismo significado que en el lenguaje común. Un evento puede ser independiente de si mismo si y solo si P(A)=P(A∩A)=P(A)P(A). Eso es, si su probabilidad es 1 ó 0. Si un evento o su complemento casi seguro ocurre, es independiente de si mismo. Por ejemplo, si el evento A es elegir cualquier numero pero el 0,5 de una distribución uniforme en el intervalo unitario; A es independiente de si mismo, a pesar que tautológicamente A totalmente determina a A.
Tautología
En lógica proposicional, tautología es una formula proposicional que es verdadera bajo cualquier evaluación posible (interpretación) de sus variables proposicionales. De otra manera, tautología es aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran. En todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido.
De un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante una redundancia, la "explicación" o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado. Ejemplo: una novedosa innovación.
La negación de una tautología es una contradicción.

Deterministico
Cuya propiedad es tener una conducta determinada solo por el estado inicial y la entrada (input). No tiene la posibilidad de resultar en otra conducta.
Evento No Deterministico
Evento que depende de otros factores más allá del estado inicial y la entrada (input).
Estado
Configuración única de información en un programa o máquina. De esta definición se deriva que un estado es un conjunto (set) de resultados organizados de una manera particular en respuesta a eventos de entrada (input). Representa una situación en un punto en el tiempo en un modelo de un sistema.
Sistema
Es un conjunto de entidades interactuando o interdependientes, reales o abstractas, que forman un todo integrado.
Modelo
Es un patron, plan, representación, o descripción diseñada para mostrar el funcionamiento de un objeto, sistema, o concepto. Es una abstracción o conceptualización de objetos de interés en el sistema descrito, utilizada en la creación de una formula predictiva. La modelación es parte fundamental, esencial e inseparable de toda actividad científica; utilizando en muchos casos el lenguaje matemático para describir un sistema.
Se basa en el uso y manejo de variables clasificadas en seis grupos básicos: variables de decisión, variables de entrada, variables de estado, variables exógenas, variables aleatorias, y variables de salida.
Se pueden clasificar en:
Lineales vs No Lineales: Si todos los operadores en un modelo presentan linealidad, entonces el modelo se define como lineal, en caso contrario se considera no lineal.
Deterministicos vs Probabilísticos (Estocásticos): Un modelo deterministico es uno en que cada conjunto de estados de las variables es únicamente determinado por parámetros en el modelo y por un conjunto de estados previos de estas variables. Por consiguiente, un modelo deterministico siempre tienen un mismo desempeño para un conjunto de condiciones iniciales dado. Un modelo estocástico es aquel donde la aleatoriedad esta presente, y los estados de las variables no son descritos por valores únicos, sino por distribuciones de probabilidad.
Estáticos vs Dinámicos: Un modelo estático no toma en cuenta el elemento tiempo, mientras que un modelo dinámico si. Los modelos dinámicos por lo general se representan con ecuaciones en diferencia (relaciones recursivas) o ecuaciones diferenciales.
Agrupados vs Parámetros Distribuidos: Si el modelo es homogéneo (un estado consistente en todo el sistema), los parámetros están agrupados. Si el modelo es heterogéneo (estados variantes dentro del sistema), entonces los parámetros están distribuidos. Parámetros distribuidos por lo general se representan con ecuaciones diferenciales parciales.
Empíricos vs Heurísticos: Los modelos empíricos son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado. Los modelos heurísticos se basan en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
La representación puede ser conceptual o matemática. Por su uso se pueden usar para la simulación, optimización, o control. La modelación puede ser computarizada. En ese caso, un programa de computadora intenta simular un modelo abstracto de un sistema particular. En todo caso el modelo se construye para expresar la lógica del sistema. Si el modelo se construye basado en un conjunto de datos, se debe determinar de que sistema o situación los datos son un conjunto típico.
Ley de los Números Grandes
Es el primer teorema fundamental de la probabilidad. Describe la estabilidad a largo plazo de la media de una variable aleatoria.
Formas



donde X1, X2, … es una secuencia infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), con valor esperado μ < ∞. El supuesto σ2 < ∞ no es necesario. σ2 → ∞ hace la convergencia lenta, pero la LNG se mantiene.
Ley Débil



Promedio muestral converge en probabilidad hacia el valor esperado. (Convergencia debil de variables aleatorias)

Ley Fuerte



Promedio muestral converge casi seguramente hacia el valor esperado. (Convergencia fuerte de variables aleatorias)
Consecuencias
Ley débil, propiedad de equipartición asintótica (propiedad general de las muestras resultantes de una fuente estocástica). Ley fuerte, la ley fuerte implica la ley débil (pero no lo contrario).
Caso especial
La ley fuerte se puede ver como un caso especial del teorema ergódico (teoría ergódica – estudia sistemas dinámicos).
Teorema del Límite Central
Es el segundo teorema fundamental de la probabilidad. Indica que la suma de un numero suficientemente grande de variables aleatorias i.i.d., cada una con media y varianza finita, estará aproximadamente distribuida normalmente.
Sea X1, X2, X3, …, Xn una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con μ < ∞ y σ2 > 0

Significa que si Φ(z) es la f.d.c. de N(0,1), entonces para todo Z real

Sea cual sea la distribución de la variable aleatoria, cuando el número de variables es grande, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal. Las ventajas de este teorema radican en que el análisis de los resultados se simplifica ya que se puede asumir un tipo de distribución permitiendo así modelar el comportamiento de la variable.
Casi Seguramente
Una sucesión de variables aleatorias Xn converge de forma casi segura a una variable aleatoria límite X cuando el conjunto de sucesos ω, tales que X(ω) es el límite de la sucesión Xn(ω), tiene probabilidad 1
Estadístico
Es una medida cuantitativa, derivado de un conjunto de datos de una muestra con el objetivo de estimar o contrastar características de una población o modelo estadístico. Es una función medible que dado una muestra estadística de valores, les asigna un número que sirve para estimar los parámetros de la distribución de la que procede la muestra. Ej: media, varianza, curtosis, estadístico t, etc. Propiedades potenciales importantes de estadísticos incluyen completitud, consistencia, suficiencia, no sesgo (objetividad), error cuadrado medio mínimo, baja varianza, robustez, y conveniencia computacional (facilidad, eficiencia y efectividad de cálculo).
Probabilidad
Frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones estables. Es el chance (oportunidad) de que algo sea el caso u ocurrirá. La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. En campos como la política, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales.
Los frecuentistas (de frecuencia) hablan de probabilidades solo cuando tratan con experimentos aleatorios bien definidos. La probabilidad de un evento denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento. Frecuentistas consideran como probabilidad la frecuencia relativa “a la larga” de los resultados.
Los bayesianos asignan probabilidades a cualquier enunciado, aun cuando no haya procesos aleatorios. Probabilidad para un bayesiano es una manera de representar los “grados de creencia” en un enunciado, dado la evidencia.
Matemáticamente se representa con un número real en el rango de 0 a 1 y escrito como P(A), p(A), o Pr(A). Un evento imposible tiene probabilidad 0, mientras que un evento seguro tiene probabilidad 1. Sin embargo, lo otro no siempre es verdad: eventos de probabilidad 0 no siempre son imposibles, ni eventos de probabilidad 1 seguros. La diferencia entre “seguro” y “probabilidad 1” viene dada por lo que se llama casi seguro.
En un universo deterministico, basado en conceptos newtonianos, no hay probabilidades si todas las condiciones son conocidas.
Nota curiosa
A pesar de que en un sentido realista los conceptos de negativos no se ajustan a la vida real; el concepto de probabilidad negativa, introducido en física y particularmente en mecánica cuántica, se ha ido probando e intentando aplicar en la matemática financiera. En finanzas cuantitativas la mayoría de las probabilidades no son reales sino pseudo probabilidades (probabilidades riesgo neutrales). No son probabilidades reales, sino “probabilidades” teóricas bajo una serie de supuestos que ayudan a simplificar los cálculos, dando mayor flexibilidad a ciertos modelos financieros sin que sean inconsistentes con probabilidades reales observadas.
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