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fecha de publicación11.06.2015
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LA SEMEJANZA y sus APLICACIONES



En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo los denotaremos con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Al lado opuesto a un ángulo o vértice A se le suele designar con la misma letra pero minúscula: a.
Si dos triángulos  ABC,  A′B′C′  son semejantes, escribiremos ABC≈A′B′C′.
Por tanto, según la definición: ABC≈A′B′C′  A=A′ , B=B′ , C=C′; a/a′=b/b′=c/c′
Obsérvese que, en la figura anterior, si trasladamos el triángulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los vértices A y A′, los triángulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los triángulos están en posición de Tales. La razón es porque esta situación concuerda exactamente con el Teorema de Tales, según el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.

Teorema de Tales



AB/AB=BC/BC=AC/AC


No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definición para comprobar que dos triángulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que se han de cumplir para que dos triángulos sean semejantes.


  • Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.

  • Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

  • Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.
La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones reales. Veamos a continuación algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.

Ejercicio 1


Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.
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Ejercicio 2


Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tienen una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura tienen los demás?
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Ejercicio 3


Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la figura.

 

Sabiendo que la base del triángulo es b=2 cm, y la altura h=3 cm, y que la altura del rectángulo es H=2 cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.
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Ejercicio 4


¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?

 

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Ejercicio 5


El bañista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. El mástil del barco sobresale 3 metros de la borda. El bañista ve alineados el extremos del mástil y el foco del faro.

 

¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?
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Ejercicio 6


¿A qué altura se encuentra el extremo superior de la escultura, sabiendo que Paula la ve alineada con el borde de la valla?
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