Con diagramas de Venn-Euler. Cuatro problemas resueltos






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fecha de publicación18.07.2015
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¿Y si contamos?

TOMADO DE: http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna1.htm

POR: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ ABRIL 3 DE 2013

Con diagramas de Venn-Euler. Cuatro problemas resueltos.

CUANDO DECIMOS, POR EJEMPLO "¿CUÁNTAS PERSONAS NO TOMABAN NI TÉ NI CAFÉ?" DEBE INTERPRETARSE EL LENGUAJE CORRIENTE EN QUE HABLAMOS LOS ARGENTINOS Y NO UNA DOBLE NEGACIÓN LÓGICA.

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

venn1.gif

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.

  1. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.

  2. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.

  3. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.

  4. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.

  5. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.

  6. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.

  7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.

  8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.

  9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/imagenes/venn2.gif

2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.

venn2.gif (5084 bytes)

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.

  2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28 personas.

  3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.

  4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas.

  5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.

  6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas.

  7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18 personas.

  8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.

  9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.

  10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.

  11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona.

  12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas.

  13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas.

  14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas.

  15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas.

  16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas.

  17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.

  18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.

4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5
II) Motocicleta: 38
III) No gustan del automóvil: 9
IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3
V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
VI) No gustan de la bicicleta: 72
VII) Ninguna de las tres cosas: 1
VIII)No gustan de la motocicleta: 61


  1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

  2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

  3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

  4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?

  5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

venn4.gif

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/imagenes/venn5.gif

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/imagenes/venn6.gif

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/imagenes/venn7.gif

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/imagenes/venn8.gif

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

    1. A 99 personas.

    2. A ninguna.

    3. A 46 personas.

    4. A 10 personas.

    5. a 14 personas.


Con diagramas de Venn-Euler.

Diez problemas propuestos. (Con respuestas).

1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

  1. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas.

  2. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.

  3. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas.

  4. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.

2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

294 personas consumían A.

78 personas consumían A pero no B.

  1. ¿Qué porcentaje de personas consumía B? Rta. El 66,4%

  2. ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? Rta. El 23,2%

  3. c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? Rta. El 43,2%

  4. d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? Rta. El 18%

3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

270 personas consumían A.

205 personas consumían B pero no A.

Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles.

Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, sólo cabrían solamente 105.

4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A

25 personas consumían sólo B.

10 personas consumían sólo C

15 personas consumían A y B, pero no C.

80 personas consumían B y C, pero no A.

8 personas consumían C y A, pero no B.

17 personas no consumían ninguno de los tres productos.

  1. ¿Cuántas personas consumían A? Rta. 68 personas.

  2. ¿Cuántas personas consumían B? Rta. 160 personas.

  3. ¿Cuántas personas consumían C? Rta. 138 personas.

  4. ¿Cuántas personas consumían A, B y C? Rta. 40 personas.

  5. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 183personas.

  6. ¿Cuántas personas consumían A o B? Rta. 173 personas.

  7. ¿Cuántas personas no consumían C ? Rta. 62 personas.

  8. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? Rta. 42 personas.

5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consumían A.

85 personas consumían B.

103 personas consumían C.

10 personas consumían A y C, pero no B.

13 personas consumían A y C.

18 personas consumían B y C.
5 personas consumían A y B, pero no C


  1. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? Rta. 18 personas.

  2. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? Rta. 3 personas.

  3. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? Rta. 12 personas.

  4. ¿Cuántas personas no consumían A? Rta. 170 personas.

  5. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 181 personas.

6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas.

18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos.

3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción.

8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.

¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos.

¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos.

7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos:

308 eran menores de diez años.

5 eran huérfanos de padre y madre.

22 eran huérfanos de padre

174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre.

3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre.

9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre.

13 eran huérfanos sólo de madre.

  1. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre? Rta. 18 niños.

  2. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre? Rta. 8 niños.

8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

126 personas consumían C.

124 personas no consumían A.

36 personas no consumían ni A ni B.

170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.

60 personas consumían A y C.

40 personas consumían los tres productos.

56 personas no consumían B.

  1. ¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas

  2. ¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas.

  3. ¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona.

9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay:

1.880 varones.

1.600 personas casadas.

380 técnicos (varones o mujeres)

150 técnicos casados

120 técnicos varones casados.

1.260 varones casados.

260 técnicos varones.

  1. ¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? Rta. 780 mujeres.

  2. ¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? Rta. 120 mujeres.

  3. ¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? Rta. 30 mujeres.

  4. ¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica? Rta. 1.120 mujeres.

9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

59% usan A.

73% usan B.

85% usan C.

41% usan A y B.

33% usan A y C.

47% usan B y C.

15% usan los tres productos.

¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? Rta. No son atendibles porque el total de la gente encuestada sería del 111% y no del 100%.

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