Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares






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títuloEstudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares
fecha de publicación03.07.2015
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práctica No.15

Coordenadas Polares

Objetivo:
Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares.

Teoría:
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando.

Coordenadas Polares
Sea un plano orientado y sobre él tomemos un eje 0x y un punto 0 de este eje, que se llaman eje polar y polo, respectivamente. La posición de un punto P del plano viene definida por el ángulo  que forma la dirección positiva del eje Ox con la dirección de la recta OP y por el valor algebraico r del vector ;  es el ángulo polar, r es el radio vector;  y r son las coordenadas polares del punto P

.

eb-gra1
A un sistema de valores de  y r corresponde un solo punto del plano. Pero a un punto del plano (distinto del polo) corresponde una doble infinidad de valores de  y r.
La ecuación , puede ser graficada en coordenadas rectangulares usando las ecuaciones siguientes:

Entonces, como tiene rango de 0 a 2 (en algunos casos el dominio es mucho mas grande) r = f ().
Curva de cardiode.
Se llama cardioide a la curva que describe un punto P de una circunferencia de radio a cuando rueda sobre otra circunferencia del mismo radio. 
La curva cardioide es llamada así por su parecido razonable a un corazón.

Su ecuación polar es . Sus ecuaciones paramétricas son: ; .
cardioidtrocho
Software a Utilizar: MATLAB

Comandos a Utilizar:


    • Polar(t, f(t)) % Grafica en coordenadas polares.


Ejemplos:
1. Trazaremos la gráfica de r = f () de la siguiente función.

donde  tiene el rango de 0 a 2
Para obtener la gráfica de esta función usaremos los comandos que a continuación se escriben:
>> t = 0:0.01:2*pi;

>> polar(t,1+cos(t));



Ahora trazaremos la gráfica , el código correspondiente es el que sigue a continuación.
>> t = 0:0.01:2*pi;

>> polar(t,(1+cos(8*t)).*(1+sin(t)));



Grafique la siguiente ecuación:
Para graficar esta ecuación se escribe el código de la siguiente manera.
>> t = 0:0.01:2*pi;

>> polar(t,exp(cos(t))-2*cos(4*t));


Asimismo grafiquemos la siguiente función:

>> t = 0:.01:24*pi;

>> polar(t,exp(cos(t))-2*cos(4*t)+(sin(t/12))^5)




Problemas:
Trace la gráfica en coordenadas polares de las siguientes funciones:
a)

b)

c)

d)

e)

f)
Trace la grafica en coordenadas polares de las siguientes funciones.

Conclusión.


Práctica N0. 16

Gráficas de Curvas Paramétricas
Objetivo:
Realizar gráfica de funciones en término de un parámetro.
Teoría.
Cuando una curva no es descrita expresando y como una función de x, sino expresando ambos x e y, como funciones de una tercera variable t. Esta tercera variable se denomina parámetro. Así las ecuaciones de la forma x = x(t) e y = y(t) se denominan ecuaciones paramétricas.
Cicloide
La cicloide se produce cuando se hace rodar sin deslizar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

cicloide1.gif (3041 bytes)
Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura


cicloide2.gif (2695 bytes)

x=vc*t+Rsenθ
y= R - Rcosθ

donde R es el radio del círculo y θ el ángulo girado en el tiempo t, θ= ω* t


La relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc=ω ·R.
Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son

Epicicloides

Dentro de esta familia de curvas incluimos las "epicicloides ordinarias", las "epicicloides acortadas" (epitrocoides cortos) y las "epicicloides alargadas" (epitrocoides largos)

Las epicicloides ordinarias (epicicloides) son curvas generadas por un punto P de una circunferencia de radio r al girar exteriormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio R. (r< R)
La curva generada depende de la relación entre los radios de ambas circunferencias. Hay que señalar que si n=R/r es entero, la epicicloide generada por el punto P se cerrará al cabo de una vuelta, y podremos observar que tiene n cúspides.

Casos particulares de epicicloides ordinarias:

  • Si R=r se obtiene la curva llamada Cardioide.

  • Si R=2r se obtiene la curva llamada Nefroide o epicicloide de Huygens (S. XVII)

  • Si R=5r se obtiene una curva llamada Ranunculus (Modachy 1979)

Hipocicloides

Dentro de esta familia de curvas incluimos las "hipocicloides ordinarias", las "hipocicloides acortadas" (hipotrocoides cortos) y las "hipocicloides alargadas" (hipotrocoides largos)

Las hipocicloides ordinarias (hipocicloides) son curvas generadas por un punto P de una circunferencia de radio r al girar interiormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio R. (r
La curva generada depende de la relación entre los radios de ambas circunferencias. Hay que señalar que si n=R/r es entero, la hipocicloide generada por el punto P se cerrará al cabo de una vuelta, y podremos observar que tiene n cúspides.

Casos particulares de hipocicloides ordinarias:

  • Si R = 4r se obtiene la curva llamada astroide.

  • Si R = 3r se obtiene la hipocicloide de Steiner (de Cremona) o deltoide (que se asemeja a un delta)

  • Si R=2r se obtiene un segmento (diámetro del círculo de radio r) llamada  "Mosca del Hire".

Trocoide
Para obtener las ecuaciones paramétricas de la trocoide se puede utilizar el mismo argumento  que se utilizó cuando se establecieron las ecuaciones paramétricas de la cicloide. La trayectoria que sigue punto cualquiera emptyemptyempty de la trocoide es el resultado de sumar dos trayectorias:

emptyemptyempty El primer término de esta suma será como antes emptyemptyempty y corresponde al movimiento del centro del círculo con radio b que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal emptyemptyempty, comenzando en el punto emptyemptyempty para cuando emptyemptyempty. Por cada unidad de t, el punto se mueve eq0013pemptyemptyempty, pues el círculo rueda sobre el eje x sin resbalarse.

En la figura 1 este movimiento aparece representado en verde.

fig. 1. parametrización de la trocoide.

Fig. 1 Parametrización de la trocoide.
Por otro lado, el segundo término de la suma será emptyemptyempty.
Aparece en azul en la figura 1 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en. empty y radio c en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto emptyemptyempty, para cuando t = 0emptyempty. Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj, mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la trocoide. De esta manera, las ecuaciones paramétricas de la trocoide son:

emptyemptyempty
En la gráfica siguiente (figura 2) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la trocoide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde.
En (a) aparece el caso emptyemptyempty en el que la trocoide tiene lazos y en (b) el caso  en el que no. 
fig. 2a. puntos en la trocoide.

(a) c>b
fig. 2b. puntos en la trocoide.

(b) cemptyempty

 

Fig. 2.
La mayor parte de diversión en la planificación de curvas paramétricas viene de intentar su propia mano sobre todo si usted tiene una calculadora de gráficos o computadora con la utilidad de graficar para hacer el verdadero trabajo. Intente varios valores de las constantes a, la b, p... en los ejemplos debajo. Cuando los senos y cosenos están implicados, el intervalo 0 >> t = 0:.01:2*pi;

>> x = f(t);

>> y = f(t);

>> plot(x, y)
Software a Utilizar: MATLAB
Comandos a Utilizar:


  • plot %Plot lineal



Ejemplo 1.
Considerando: . Esta trocoide es trazada por un punto P sobre una rueda sólida de radio a como esto rueda a lo largo del eje de abscisas (eje x); la distancia de P del centro de la rueda es b> 0. (el gráfico es una Cicloide si a = b.) Intente ambos casos a>b y aCaso 1. a = 3, b = 1, a>b:
>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = 3*t-sin(t);

>> y = 3-cos(t);

>> plot(x,y)



Caso 2. a = 1, b = 3, a>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = t-3*sin(t);

>> y = 1-3*cos(t);

>> plot(x,y)


Ejemplo 2

.

Considerando:

Esto es un hypocycloide, el camino de un punto P sobre un círculo de radio b que hace rodar a lo largo del interior de un círculo de radio a>b. La figura muestra el caso b = a/5.
Por ejemplo; a = 5, b = 1.
>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = 4*cos(t) + cos(4*t);

>> y = 4*sin(t) - sin(4*t);

>> plot(x,y)


Ejemplo 3.
Considerando:

Esto es un epicycloide trazado por un punto P sobre un círculo de radio b que hacer rodar a lo largo del exterior de un círculo de radio a>b. La figura muestra el caso b = a/5.
Por ejemplo; a = 5, b = 1.
>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = 6*cos(t) - cos(6*t);

>> y = 6*sin(t) - sin(6*t);

>> plot(x,y)



Ejemplo 4.
Considerando:

Esto es un epitrosoide, es a un epicycloide lo que una trocoide es a una cicloide. Con a = 8 y b = 5 usted debería obtener la curva mostrada en la siguiente figura

>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = 8*cos(t)-5*cos(8*t/2);

>> y = 8*sin(t)-5*sin(8*t/2);

>> plot(x,y)


Ejemplo 5
Considerando:


Con a = 8 y b = 5 este hypotrocoide se ve como el de la curva mostrada en la figura adjunta.
>> t = 0:.01:2*pi;

>> x = 8*cos(t)+5*cos(8*t/2);

>> y = 8*sin(t)-5*sin(8*t/2);

>> plot(x,y)



Problemas:
1. Tabule y grafique las siguientes ecuaciones paramétricas:
a)

b)


2. Considere: x = cos at, y = sin bt. Estas son las Curvas Lissajous que típicamente aparecen sobre los osciloscopios en los laboratorios de física o electrónica. Determine las Curva Lissajous con a = 3 y b = 5 .

3. Considere las ecuaciones paramétricas

Con los valores a = 16, b = 5, c =12, d = 3, p = 47/3, y q = 44/3 debe ver como es la llamada curva de slinky.

Conclusión:

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