Una función es una relación entre dos variables. Para entenderlo mejor, podemos imaginarnos una máquina, y esta máquina representa la función. Yo pongo en la






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FUNCIONES
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Una función es una relación entre dos variables. Para entenderlo mejor, podemos imaginarnos una máquina, y esta máquina representa la función. Yo pongo en la máquina ciertos números y ella los pasa por un proceso y me devuelve otros números.

También podemos entenderlo como una asociación entre dos conjuntos y , que a cada elemento de le asigna un ÚNICO elemento de

Por ejemplo, si tenemos la siguiente función (máquina):

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/functionmachine.svg/220px-functionmachine.svg.png
Definición:



Podemos ingresar a esta máquina los números que queramos. Probemos con 1, 0, -1:

Número

Evaluación en la Función

Procedimiento

Resultado

1





5


0





3


-1





1








4


Es decir, donde tenemos en la función, lo remplazamos por el número dado.

Además, puede escribirse como :



Dominio & Recorrido:


Se dice que A es el dominio (también conjunto de partida o pre-imagen) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada).



El recorrido (o imagen o rango) de una función es un subconjunto del codominio y son los elementos que están asociados a una pre-imagen.



A B

DOMINIO CODOMINIO

Pre-Imagen
file:votingapplication.svg

Por ejemplo:



funcion_imagen_003





Dominio:

Codominio:

Recorrido:

Intectividad & Sobreyectividad:


Una función es inyectiva cuando las imágenes de elementos distintos son distintas. Es decir, NO hay dos elementos que tengan una misma imagen.



Una función es sobreyectiva cuando su imagen es igual a su recorrido.


Una función es Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.




Inyectiva

No inyectiva

Sobreyectiva

correspon 1602.svg

Biyectiva




correspon 1502.svg

No sobreyectiva

correspon 1402.svg

correspon 1302.svg


La imagen inversa (también anti-imagen o pre-imagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f −1(b).

La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, YB, es el conjunto de las pre-imágenes de cada elemento de Y, y se escribe f −1(Y).
Inversa de una Función:



Ejemplo: Queremos encontrar la inversa de esta función:



Lo que hacemos es despejar de la ecuación:







Una vez que está despejado, cambiamos por :





Gráficos de Funciones:

Estas funciones pueden ser graficadas.

http://www.rieoei.org/imgexpe/vazquez10.gif

Por ejemplo, para la función :

  1. Dibujamos el plano cartesiano:

http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:and9gct7ljqdwg24fsc5v_xbx6z25ag_bsgp5xmehqvcclqbov9hqbc2cuivw6mzsg

  1. Hacemos una tabla, donde evaluamos números cercanos a cero en la función:

Puntos

f(x)

-2

-1

-1

1

0

3

1

5

2

7



  1. Dibujamos los puntos encontrados en el plano cartesiano.

  2. Unimos estos puntos.

Funciones Par e Impar:


Una función es par si . Su gráfico es simétrico con respecto al eje y.

Una función es impar si . Su gráfico es simétrico con respecto al origen.


Funciones Periódicas:


Una función es periódica cuando la función “repite” los mismos valores.


Por ejemplo, los siguientes gráficos de funciones:

http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/imagenes/periodica.gif http://www.uhu.es/ondas/proguia/caconda2/funcion%20periodica%205.gif

Funciones Creciente & Decreciente.


Una función es creciente si para .

Una función es decreciente si para .


Función Cuadrática:

Es un tipo de función donde tenemos un término elevado al cuadrado, el siguiente elevado a uno y el último elevado a cero.



Donde a, b y c pueden ser números cualquiera.

Por ejemplo:



Los gráficos de estas funciones son PARÁBOLAS.

http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:and9gcr1ewuaohjzaofmm_afqknfacybdv0eafmc1k6bd_9utzb3ofqkjv_kp7bhtq

ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

  1. Concavidad & Vértice:

Si la parábola se abre hacia arriba.

Si la parábola se abre hacia abajo.

Si el vértice de la parábola está por encima del eje .

Si el vértice de la parábola está por debajo del eje .

http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:and9gct2nbkwenq2tbpta2jyb8nlacqob34zhqs_7uobphyhgtg49ozp7jpyagrlmq.

  1. Las coordenadas del vértice de la parábola y su eje de simetría son:



  1. TRASLACIONES:

Traslación Horizontal:

función función



Traslación Vertical:

función función



Traslación Oblicua:

función función



Ecuaciones cuadráticas:


Una ecuación cuadrática resulta cuando igualemos la función cuadrática a cero. De este modo obtenemos sus raíces (o ceros).




Por ejemplo:



Lo que intentamos hacer es resolver esta ecuación (encontrar el valor de ). Y como la ecuación es cuadrática, la solución de la ecuación nos dará DOS valores.

Recordemos que cuando tenemos una ecuación simple, la resolvemos despejando . Como en el siguiente ejemplo:











En el caso de las ecuaciones cuadráticas, tenemos una fórmula para encontrar el valor de (encontraremos dos valores de



Donde:



Es el discriminante de la ecuación.

  • Si tenemos dos soluciones distintas.

  • Si tenemos dos soluciones iguales.

  • Si no tenemos solución.

Funciones Compuestas:

Una función Compuesta es aplicar una función y luego aplicar una segunda.



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/functionmachinescomposition.svg/220px-functionmachinescomposition.svg.png http://h.imagehost.org/0643/funcioncompuesta.png

Por ejemplo:









Funciones Exponenciales & Logarítmicas:

  1. Función Exponencial:

Una función es exponencial cuando:



imagen:algebra143.gif

El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales y su recorrido son los reales positivos. Es una función inyectiva. Y la función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.

Su gráfico intersecta al eje en 1. Y no intersecta NUNCA al eje .

La función exponencial natural:

Es una función exponencial que tiene como base al número decimal infinito



  1. Función Logarítmica:

Es la función inversa de la función exponencial.-







imagen:algebra154.gif

El dominio de esta función son los reales positivos y su recorrido son todos los números reales. Intersecta al eje en 1 y no intersecta NUNCA al eje . Es inyectiva

La función es creciente en el intervalo y decreciente en .

Notemos que la función exponencial es equivalente a la función logaritmo:

imagen:algebra156.gif

Por ejemplo, despejemos la siguiente incógnita:



Logaritmo en base 10:





Este es uno de los logaritmos más utilizados, por lo tanto omitimos la base 10.

Logaritmo natural:


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