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FRACTALES

El matemático francés Benoít Mandelbrot desarrolló, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (“quebrado”). El término pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE).

Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos. Su principal propiedad es que su aspecto y distribución estadística no varía de acuerdo a la escala con que se observe.

Los fractales son, por lo tanto, objetos semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar tres tipos diferentes de autosimilitud (las partes tienen la misma estructura que el todo): la autosimilitud exacta (el fractal resulta idéntico a cualquier escala), la cuasiautosimilitud (con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas) y la autosimilitud estadística (el fractal debe tener medidas numéricas o estadísticas que se conserven con el cambio de escala).

Las técnicas fractales se utilizan, por ejemplo, para la comprensión de datos. A través del teorema del collage, es posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que incluye las transformaciones que lleva una figura completa en cada una de sus partes autosemejantes. Al quedar la información codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.



http://definicion.de/fractal/
En primer lugar y ya que hablaré de fractales, debes saber que el término 'fractal' lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación.

Fue el la IBM donde se fraguó la teoría de la Geometría Fractal, tan bellamente representada por el conjunto de Mandelbrot.


Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía y era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.

De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que fuera, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.

Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación geométrica, por tanto visual y que era fácilmente representable en un gráfico:



Mandelbrot vio reflejarse en el conjunto de Cantor los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM. Vio que era una muestra de tiempo fractal y que extendiendo esta teoría a otros campos, la importancia del término fractal ganaría la partida frente a los matemáticos ortodoxos que pensaban en la geometría euclídea como forma ideal de belleza y como piedra filosofal sobre la que giraba las matemáticas y físicas modernas. Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador. Y es que a Mandelbrot le sobraban ordenadores ya que trabajaba en la IBM y disponía a su alcance de una gran cantidad de recursos informáticos.

http://www.cienciateca.com/fractales.html

El conjunto de Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Siguiendo los consejos pedagógicos de Rousseau, "la mejor manera de hacer entender qué es una ventana es enseñar una", comenzaremos presentando un grupo de fractales geométricos clásicos. Todos ellos fueron creados a finales del siglo XIX o a comienzos del siglo XX. Nada más ver la luz fueron tachados de monstruos geométricos por algunos famosos matemáticos de la época como Poincaré. A la larga alentaron la búsqueda rigurosa de conceptos como infinito, curva continua o dimensión. Esparcidos por la literatura matemática y física, fueron recopilados por Benoit Mandelbrot a mediados del siglo XX, en forma de museo de los horrores, con ánimo de fundar una nueva teoría geométrica: los fractales. Veamos algunos de ellos.

El conjunto de Cantor toma su nombre de Georg F. L. P. Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo. Su verdadero creador fue Henry Smith, un profesor de geometría de Oxford, en 1875. Es uno de los fractales más antiguos. Para obtenerlo se procede del siguiente modo. Partimos de un segmento de tamaño unidad, = [0,1], tal y como se muestra en el paso n=1 de la figura inferior. Dividimos el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno. Borramos el central y nos quedamos con los intervalos cerrados restantes:
y

Así obtenemos el resultado del paso n=2 de la figura inferior. Repitiendo la división en tres partes cada uno de estos segmentos y borrando de nuevo el fragmento central de cada uno, obtenemos los cuatro intervalos siguientes (n=3 en la figura inferior):

, ,,

Cada uno posee longitud 1/9.



ervemos detenidamente la secuencia de longitudes: comenzamos con un segmento de longitud 1 y tras la división pasamos a tener 2 segmentos, y , de longitud 1/3 cada uno. En la operación número 2, teníamos 4 = segmentos (,...,) de longitud 1/9 = 1/ cada uno. Si repetimos el proceso de dividir en tres segmentos iguales y borrar el central, en el paso n-ésimo tendremos intervalos cerrados o segmentos ( , ... ) cada uno de ellos de longitud 1/.
He aquí la secuencia del número de segmentos y sus respectivas longitudes en sucesivas iteraciones:

nº segmentos

longitud del segmento

2

1/3

4

1/9

8

1/27

...

...

2n

1/3n

Después de infinitos pasos obtendremos el subconjunto de los números reales que denominamos conjunto de Cantor o polvo de Cantor, que por brevedad denominaremos a partir de ahora C.
Bueno... ¿Y qué? Calculemos cuál es la longitud final de los segmentos eliminados sucesivamente:



Pero, entonces, ¿después de borrar tanto intervalo nos queda "algo" o no?

Hemos de hacer una pequeña observación: los intervalos borrados son abiertos (recuerda que nos quedamos con los cerrados). Es decir: cuando borramos el intervalo (1/3, 2/3) se salvan de la quema los puntos 1/3 y 2/3, es decir, los extremos del intervalo borrado. Así que los extremos de los intervalos nunca son eliminados. Podemos concluir que C no está vacío. Tenemos puntos como 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, ... que pertenecen al mismo. ¿Hay más que los extremos? La intuición nos dice que no. Pero un análisis más pausado la contradice.
Nuestro interés se centra en la geometría fractal y el conjunto de Cantor exhibe de forma evidente una de las propiedades más importantes de los fractales: la autosimilaridad. Tomando el intervalo [0,1/3] y ampliándolo 3 veces (los matemáticos dirían "homotecia de centro 0 y razón 3"), obtendremos de nuevo el conjunto de Cantor original. Si tomamos el intervalo [0, 1/9] y lo ampliamos 9 veces obtendremos de nuevo el conjunto de Cantor. De hecho, desde cualquier nivel podemos conseguirlo. De modo que toda parte, por minúscula que sea, contiene la información del todo.
Cualquier parte de una línea recta es una línea recta idéntica a la total salvo por un factor de escala. Observa sin embargo que muchas formas euclídeas no tienen esta propiedad. Un arco de círculo no es un círculo por sí mismo o un lado de un triángulo no es triangular.
Curva de Koch

El creador en 1904 de este monstruo fue Niels Fabian Helge von Koch , matemático sueco.
Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como muestra la animación en la iteración n=1. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.

En la operación n-ésima la curva estará formada por 3· trozos, de perímetro /. La curva de Von Koch resulta del paso al límite de la sucesión de curvas cuando n tiende a infinito. ¿Cuál es la longitud del perímetro de esta isla?

Será:



Es decir, aunque la isla de Von Koch ocupa una región limitada del espacio, un área finita, su perímetro es ... ¡infinito!

Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Kock. Abajo mostramos la curva de Koch exterior, que parte originalmente de un hexágono, en vez de un triángulo equilátero:



Abajo vemos dos versiones más que parten de un cuadrado. Se denominan fractales de Cesaro. Observemos que la variación del ángulo se traduce en dos resultados finales bien diferentes.





Ya en la Grecia clásica existían varias definiciones para el concepto de curva. Desde las curvas entendidas como la intersección de superficies, caso de las cónicas, a la de curva entendida como el lugar geométrico de la trayectoria recorrida por un punto. En el siglo XVII la geometría analítica asocia curvas y ecuaciones algebraicas. Más tarde, el cálculo diferencial acaba reservando el nombre curva a la función continua.
Las curvas que estamos acostumbrados a tratar son "suaves". Imaginemos que trazamos una tangente a una de estas curvas en uno de sus puntos. Ampliemos una zona microscópica alrededor del punto de tangencia: a medida que nos acercamos más y más al entorno "infinitesimal" del punto, la línea tangente se ajusta más y más a la curva. Decimos que localmente la curva es indistinguible de una línea recta. De forma similar ocurre con una superficie: sobre cada punto podemos trazar un plano de tangencia. Decimos, entonces, que localmente la superficie es indistinguible de un plano.

La contrapartida algebraica es que podemos determinar analíticamente el valor de la derivada de la curva en el punto de tangencia. Si la curva representa la trayectoria de un móvil, el valor de la derivada en un punto nos proporciona su velocidad instantánea.



Observemos la recta (a). Es derivable en todos sus puntos. La curva (b), llamada diente de sierra, sin embargo, no lo es en todos ellos. Una curva quebrada no posee una tangente única en su punto de ruptura. La derivada por la derecha y por la izquierda no coinciden. Esto hace que la descripción de la curva se complique. La curva es continua pero no derivable en ese punto. Para una curva poligonal como la función diente de sierra necesitamos una descripción analítica por partes. En la curva (b) nos encontramos con 3 puntos no derivables. La curva (c) es sencillamente la iteración n=3 de uno de los lados de la curva de Kock. Es continua pero posee 9 puntos no derivables... Y, efectivamente, la curva de Kock es una curva contínua en todos sus puntos pero no derivable en ninguno... ¡No podemos trazar tangente a ninguno de sus puntos!
Benoit Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre "fractal" para estas criaturas geométricas. La palabra latina fractus significa quebrado. En sus propias palabras:

"I coined fractal from the Latin adjective fractus. The corresponding Latin verb frangere means "to break": to create irregular fragments. It is therefore sensible - and how appropriate for our needs! - that, in addition to "fragmented" (as in fraction or refraction), fractus should also mean "irregular", both meanings being preserved in fragment." (The Fractal Geometry of Nature, página 4)

http://www.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm
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