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Presencia matemática en El Quijote: una rebusca.
Ángel Requena Fraile

IES La Cabrera, Madrid


Con motivo del cuarto centenario de la publicación de la primera edición de El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha, los profesores como muchas otras personas hemos hecho gozosa relectura de tan singular y compleja obra. En verdad, subrayar los aspectos matemáticos de algo tan grandioso parece casi irreverencia dada la inmensidad del contenido humanista de las dos novelas, incluyendo la segunda parte: El ingenioso caballero.
El contenido de la anti-novela de caballería es tan amplio que no faltan importantes referencias matemáticas. Tras el documentado y exhaustivo trabajo de Luis Balbuena Castellano[2] parecía que el tema estaba agotado. Y es posible que así sea en lo fundamental. Pertenezco -como Luis- a la generación de lectura obligatoria de la edición escolar abreviada, y con ella eche a volar mis pensamientos. Estaba en deuda. Era necesaria una relectura completa y sosegada para deleitarse, y -por deformación- escudriñar las relaciones del Quijote con las matemáticas.
Cuando en enero de 2005 termine la lectura, con las notas tomadas y un bosquejo del contenido, comente con mis alumnos algunos detalles; con la suerte de que uno me trajo un especial de Muy Interesante [1] que mencionaba el trabajo de Balbuena. La edición electrónica estaba disponible generosamente. Quedaba la opción de guardar los apuntes ante un trabajo tan excelente, pero el esfuerzo estaba hecho, y aparecían aspectos en sombra que Luis había iluminado menos. Así, con toda modestia, seguí la andadura de los olivareros pobres, que terminada la recolección de la aceituna hacen la rebusca. Y lo que inicialmente era un trabajo de carácter más general se ha reducido a señalar aspectos menos subrayados por el profesor Balbuena. Pesas, medidas, monedas o el estudio cuantitativo, obviamente no se tratarán.

1. Momento histórico fundamental para la cultura y la ciencia.
La vida de Cervantes transcurre en un momento trascendental: revolución religiosa, literaria, económica, cultural, científica y... matemática. Cervantes nació en 1547, solo cuatro años después de las ediciones de Copernico y Vesalio, y solo dos del Ars Magna de Cardano. La recuperación de Euclídes, Apolónio y Arquímedes los tres grandes griegos era un hecho reciente. Los algebristas italianos del renacimiento ya superaban a los árabes. Se estaban poniendo las bases de la notación algebraica moderna: Vieta desarrolla el cálculo especioso. El desarrollo de los logaritmos permitiría una rapidez de cálculo nunca vista. Todo apuntaba a mayores cambios, pero habría que esperar a Descartes (1637), Newton (1666) y Leibniz (1686). Galileo apuntaba el telescopio al universo cuando Cervantes escribía.

El retraso de España no era tan patente como se haría más tarde: buen nivel en la cosmografía necesaria para la navegación, fundación de la Academia, publicación de un buen manual de Aritmética algebraica, él de Pérez de Moya (1562) y hasta raros progresos como el Analysis Geometrica (1598) de Hugo de Omerique.
Estos acontecimientos nos muestran la encrucijada en la que está escrita el Quijote: no existe la notación decimal, las fracciones elementales están muy presentes, la docena y sus múltiplos y divisores es un auxiliar excelente, el método egipcio de duplicación sucesiva y demediación -conservado por los musulmanes españoles- es muy eficaz para los cómputos: aspectos todos de los que nos da cuenta Cervantes.

2. Modernidad del termino matemáticas en Cervantes.
Como han señalado Balbuena y los estudiosos [5] del lenguaje del Quijote son cuatro veces las que aparece la palabra matemáticas, una vez en la primera novela y tres en la segunda:



  1. i) Y Lotario prosiguió diciendo:

  2. -Paréceme, ¡oh Anselmo!, que tienes tú ahora el ingenio como el que siempre tienen los moros, a los cuales no se les puede dar a entender el error de su secta con las acotaciones de la Santa Escritura, ni con razones que consistan en especulación del entendimiento, ni que vayan fundadas en artículos de fe, sino que les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demonstrativos, indubitables, con demostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan también son iguales”.

Capítulo XXXIII de El ingenioso hidalgo: Novela del "Curioso impertinente"
Esta primera cita nos ofrece una sorpresa que nos permite atribuir a Cervantes un interés mayor por la matemática que el señalado hasta ahora: el entrecomillado pertenece al Libro I de Los Elementos. Se trata de la cuarta Noción Común, y que proviene de la Metafísica de Aristóteles. La lectura de Euclídes, aunque fuera superficial nos muestra a Cervantes con deseo de conocimiento. La edición castellana de los seis primeros libros de Los Elementos es de 1576 y se debe a Rodrigo Zamorano, catedrático de Cosmografía en La Casa de Contratación de Sevilla. Traducción solo 11 años posterior a la italiana firmada por Tartaglia, únicas en lenguas romances de la época. En latín las ediciones son múltiples desde la príncipe de Venecia en 1482. De cualquiera de ellas pudo tomar su cita Cervantes.





  1. ii) - La de la caballería andante -respondió don Quijote-, que es tan buena como la de la poesía, y aun dos deditos más.

- No sé qué ciencia sea ésa -replicó don Lorenzo-, y hasta ahora no ha llegado a mi noticia.

- Es una ciencia -replicó don Quijote- que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa ha de ser jurisperito, y saber las leyes de la justicia distributiva y comutativa, para dar a cada uno lo que es suyo y lo que le conviene; ha de ser teólogo, para saber dar razón de la cristiana ley que profesa, clara y distintamente, adondequiera que le fuere pedido; ha de ser médico y principalmente herbolario, para conocer en mitad de los despoblados y desiertos las yerbas que tienen virtud de sanar las heridas, que no ha de andar el caballero andante a cada triquete buscando quien se las cure; ha de ser astrólogo, para conocer por las estrellas cuántas horas son pasadas de la noche, y en qué parte y en qué clima del mundo se halla; ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas; y, dejando aparte que ha de estar adornado de todas las virtudes teologales y cardinales, descendiendo a otras menudencias, digo que ha de saber nadar...etc.

Capítulo XVIII de El ingenioso caballero: En casa de Don Diego Miranda.
iii) En lo que faltaba de camino les fue contando el licenciado las excelencias de la espada, con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostraciones matemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia y Corchuelo reducido de su pertinacia..

Capítulo XIX de El ingenioso caballero: Pleito del bachiller y el licenciado.
Las referencias dos y tres ponen de manifiesto tanto el aspecto de certeza que acompaña a la matemática como la modernidad del uso de la matemática como modelo de ciencia. Es de destacar que la tradición escolástico-aristotélica hace escaso uso de la matemática y será la matematización de la Física lo que dará paso a la ciencia moderna. Y esa matematización se estaba produciendo en plena vida de Cervantes.
La cita tercera cobra más luz si la comparamos con la que aparece en El licenciado Vidriera: "tocaban algo en presuntuosos, pues querían reducir [la esgrima] a demostraciones matemáticas que son infalibles los movimientos y pensamientos coléricos de sus contrarios". Las Novelas Ejemplares muestran ya una fijación cervantina por la obsesión presuntuosa de algunas artes por matematizarse, y ser apreciadas como científicas.




iv) La cola, o falda, o como llamarla quisieren, era de tres puntas, las cuales se sustentaban en las manos de tres pajes asimesmo vestidos de luto, haciendo una vistosa y matemática figura con aquellos tres ángulos acutos que las tres puntas formaban; por lo cual cayeron todos los que la falda puntiaguda miraron que por ella se debía llamar la condesa Trifaldi, como si dijésemos la condesa de las Tres Faldas, y así dice Benengeli que fue verdad.

Capítulo XXXVIII de El ingenioso caballero: La dueña dolorida


La cuarta cita que tiene más el carácter de metáfora para describir el nombre y la vestimenta de la disfrazada para el engaño, y es por ello de menor interés.

3. El mundo de las fracciones.
En nuestra época, de pleno dominio del sistema decimal y de la escritura de fracciones decimales podemos perder la perspectiva del manejo de fracciones en las culturas tradicionales. Incluso el lenguaje ordinario ha perdido usos habituales en los tiempos cervantinos. Veamos algunas:
Tercia parte a la persona que lo acusaré (Privilegio)

Mejorado en un tercio y un quinto ( Libro I, capítulo XXI)

Hemos de salir mejorados en tercio y quinto (Libro II, capítulo XXXI)

Tres cuartos de legua habían andado (Libro I, capítulo XXIX)

Y como la noche iba casi en las dos partes de su jornada (2/3) (Libro I, capítulo XLII)

Envió a la duquesa hasta medio celemín [de bellotas] (Libro II, capítulo LII)

4. La multiplicación por duplicación y la división por demediación.
Ya el papiro Rhind egipcio (siglo XVIII a.c.) nos muestra una técnica operatoria muy eficaz para el cálculo: duplicaciones sucesivas del multiplicando. Esta tradición no estaba perdida en la Edad Media pues las Aritméticas árabes enseñan el algoritmo. En particular nuestro al-Qalasadí (siglo XV) la describe en Se levanta el velo de la ciencia gubar. De igual forma, la mas celebre de las aritméticas incunables, Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1496), describe seis operaciones: sumar, restar, multiplicar, dividir, duplicar y mediar.
El conocido cálculo de la cuarta parte de 3300 que realiza Sancho mediante descomposición y dos demediados tenía una gran tradición. Todavía hoy en los libros de Cálculo Mental se recomienda su uso.
- Ellos -respondió Sancho- son tres mil y trecientos y tantos; de ellos me he dado hasta cinco: quedan los demás; entren entre los tantos estos cinco, y vengamos a los tres mil y trecientos, que a cuartillo cada uno, que no llevaré menos si todo el mundo me lo mandase, montan tres mil y trecientos cuartillos, que son los tres mil, mil y quinientos medios reales, que hacen setecientos y cincuenta reales; y los trecientos hacen ciento y cincuenta medios reales, que vienen a hacer setenta y cinco reales, que, juntándose a los setecientos y cincuenta, son por todos ochocientos y veinte y cinco reales. Éstos desfalcaré yo de los que tengo de vuestra merced, y entraré en mi casa rico y contento, aunque bien azotado; porque no se toman truchas..., y no digo más…

(Libro II, Capítulo LXXI)

5. La combinatoria.
Hay un pasaje donde el soldado seductor Vicente de la Roca combina sus prendas para simular mayor variedad de vestidos:
Y halló que los vestidos eran tres, de diferentes colores, con sus ligas y medias, pero él hacía tantos guisados e invenciones dellas, que si no se los contaran hubiera quien jurara que había hecho muestra de más de diez pares de vestidos y de más de veinte plumajes.

(Libro I, capítulo LI)
Si comprobamos que las variaciones con repetición de tres vestidos tomados de dos en dos son 9 (32) y las de tres en tres son 27 (33), se aprecia que las estimaciones tenían mucho sentido: diez trajes y más de veinte plumajes.

6. Las progresiones.
Las duplicaciones y las demediaciones -como se ha señalado- son técnicas muy gratas a Cervantes y aparecen varias veces; en dos de ellas forman progresión geométrica de tres términos:
Y despidiendo treinta ayes y sesenta suspiros y ciento y veinte pesetes y reniegos de quien allí le había traído, se levanto [Sancho].

(Libro I, capítulo XV)

¡Ea, ministros de esta casa, altos y bajos, grandes y chicos, acudid unos tras otros y sellad el rostro de Sancho con veinte y cuatro mamonas,, y doce pellizcos y seis alfilerazos en brazos y lomos, que en esta ceremonia consiste la salud de Altisidora!

(Libro II, capítulo LXIX)
7. Una estimación muy errónea.
El hipotético viaje que emprenderán Don Quijote y Sancho en Clavileño será por aire para reducir las distancias, pero comprobaremos que la estimación es muy grosera:
-Es el caso -respondió la Dolorida- que desde aquí al reino de Candaya, si se va por tierra, hay cinco mil leguas, dos más a menos; pero si se va por el aire y por la línea recta, hay tres mil y doscientas y veinte y siete.

(Libro II, capítulo XL)
Tanta precisión tentaba a su verificación. Don Quijote se encuentra en Zaragoza y el reino de Candaya en Ceilán. Calculando por geometría analítica, o mejor con las fórmulas del primer grupo de Bessel de la trigonometría esférica, encontramos que la distancia de Zaragoza (41º N- 1º W) a Colombo (6º N- 79º E) es 1606 leguas (80,5º de circulo máximo). La distancia mínima es la mitad de la que aparece en el texto. Interesante resaltar que lo que en la superficie terrestre se consideran líneas rectas son los círculos máximos. Desaparecida de los programas la trigonometría esférica, puede ser un buen problema practico hacer uso de la geometría analítica.


8. La geometría.
El termino geometría solo aparece dos veces: en el Prólogo de El ingenioso hidalgo y en capítulo I de El ingenioso caballero. En el primer caso para manifestar que para escribir la novela poca ayuda ha encontrado en la literatura filosófica: ni le son de importancia las medidas geométricas. Mayor interés tiene la segunda: utilización de la semejanza para demostrar la existencia de los gigantes pues la geometría saca esa verdad de duda.
El compás aparece en dos ocasiones, ambas en el segundo libro. La primera (capítulo XIX) para señalar en la esgrima la posición de las piernas: apeaos y usad de vuestro compás de pies. En el capítulo XXXIII, Sancho indica a la Condesa las precauciones a tomar en las caballerizas: se ha de ir con el compás en la mano y con medido término.
La pirámide se usa también metafóricamente como figura de gran base que se reduce a nada en la cúspide: aunque tuvieron principios grandes acabaron en punta como pirámides...Habiendo disminuido y aniquilado su principio hasta parar en nonada, como lo es la punta de la pirámide (Libro II, capítulo VI)

9. Las proporciones: ratas.
El Quijote conserva el termino rata, el latino ratio, para las proporciones. Así, para calcular pagos usa rata por cantidad de tiempo (Libro I, capítulo XX) o contad Sancho rata por cantidad y mirad lo que os debo y pagaos (Libro II, capítulo XXVIII).
La cuadruplicación la expresa Cervantes con solo el número: pagaré con el cuatro tanto en la muerte las partidas de que no se hubiera hecho cargo en la vida (Libro II, capítulo XLII).
Multiplicar por siete son setenas, como los palos que recibe Sancho: y yo con las setenas (Libro II, capítulo XVIII).
Un reparto de botín delicioso es el realizado por el bandido justiciero catalán Roque Guinart, pero tiene mucho de sabio y poco de matemático.

10. Mitología matemática.
Cervantes escribe cuando termina el Renacimiento, cuando subsisten las creencias de pueblos sabios que disponían de un saber básico y oculto, hermético. Entre los saberes de estas cofradías de iniciados estaba un profundo conocimiento matemático. Estos sabios mitológicos son los escribas egipcios, los bracmanes y los ginosofistas (Libro I, capítulo XLVII) En particular los gimnosofistas aparecen como creadores de la aritmética en la biblioteca de El Escorial.


11. El rosario: un ábaco singular.
La matemática puede aparecer donde menos lo esperamos: un rosario no es otra cosa que un ábaco. Si rezar requiere orden y precisión, el rosario es el mecanismo simple de computo. Ante la carencia de un rosario, Don Quijote fabrica uno: ...rasgó una gran tira de la falda de la camisa ...y dióles once ñudos, el uno más gordo que los demás (Libro I, capítulo XXVI)

12. Los números primos, los divisores y la poesía.
El termino usado para un poema es metros; nada más apropiado para un arte que en la época lleva asociada una forma precisa: silabas por verso, número de versos y rimas prefijadas según la composición. El orden del poema es aritmético.
Cuando Don Quijote (Libro II, capítulo IIII) pide al bachiller poeta que dedique un poema acróstico a su idolatrada dama se va encontrar con una dificultad añadida: Dulcinea del Toboso tiene 17 caracteres, es por tanto primo y no encaja en las composiciones establecidas. Dice el bachiller:
...no dejaría de componer los tales metros, aunque hallaba una dificultad grande en su composición, a causa que las letras que contenían el nombre eran diez y siete, y si se hacía de cuatro castellanas de a cuatro versos, sobrara una letra, y si de a cinco, a quien llaman décimas o redondillas, faltaban tres letras;...

13. Una deriva tecnológica.
Tres aspectos relacionados con la revolución científico-tecnológica de la época pueden ser de interés resaltar: los ingenios mecánicos, la cosmografía y el vuelo de Clavileño.
En el siglo XVI se realiza en España un esfuerzo tecnológico importante con los máquinas de agua y viento. Queda como modelo el ingenio para subir las aguas del Tajo al Alcázar de Toledo de Juanelo Turriano, relojero del emperador. Y junto a ese admirable dispositivo de ruedas hidráulicas y tornillos de Arquímedes, se inician muchas obras de canales y molinos. Cervantes no permanece al margen de ese proceso y no le pasará inadvertido. Don Quijote sufrirá el enfrentamiento con las máquinas: molinos de viento (Libro I, capítulo VIII), batanes (Libro I, capítulo XX) y aceñas (Libro II, capítulo XXIX. El terror cósmico ante la maquina pocas veces se ha expresado mejor.
El viaje por el Ebro (Libro II, capítulo XXIX) es una deliciosa caricatura de la navegación científica realizada por un aficionado conocedor. Ptolomeo es citado dos veces, una como geógrafo (Libro I, capítulo XLVII) y otra como astrónomo (Libro II, capítulo XXIX). El astrolabio que Don Quijote echa de menos en el río Ebro sería el instrumento de orientación básico. En una ocasión se calcula lo que queda de noche por las estrellas, Osa Mayor, llamada por su nombre popular bocina (Libro I, capítulo XX)
El vuelo de Clavileño nos ofrece la teoría del espacio en el Renacimiento: sentí que pasaba por la región del aire y aun que tocaba la del fuego (Libro II, capítulo XLI)

14. Recapitulación.
Quizá el Quijote no sea una novela de omnipresencia matemática o con un papel muy destacable como -dentro de las grandes obras de la literatura universal- pueden ser Guerra y Paz o El hombre sin atributos; pero Cervantes no desdeña su importancia, antes bien, tuvo una concepción moderna y consciente de su papel. Como con los ingenios y la cosmografía, punta de lanza tecnológica de los nuevos tiempos, a Don Miguel no le paso desapercibido que algo profundo estaba pasando -no solo que la caballería andante estaba trasnochada- y que en ese nuevo acontecer algo tenían que ver las matemáticas. El ingenioso hidalgo nunca dejará de sorprendernos y admirarnos.

15. Referencias.
[1] ALCALDE, J. y COPERIAS, E. M. La ciencia en el Quijote. Muy Interesante, 284. Madrid, enero 2005.

[2] BALBUENA CASTELLANO, L. Cervantes, Don Quijote y las matemáticas. Edición digital. Tenerife, 2003

[3] BALBUENA CASTELLANO, L. y GARCÍA JIMENEZ, J. E.. El Quijote y las matemáticas. Servicio publicaciones FESPM. Badajoz, 2004.

[4] CERVANTES SAAVEDRA, M. Don Quijote de la Mancha. Edición de Iriso S. y Pontón G. Galaxia Gutemberg. Barcelona, 1998.

[5] CERVANTES SAAVEDRA, M. Novelas ejemplares. Editorial Planeta. Barcelona, 2005.

[6] FERNANDEZ GOMËZ, C. Vocabulario de las obras de Miguel de Cervantes. Biblioteca Nacional. Sala Cervantes, 3451.

[7] GARCÍA-FRIAS CHECA, C. La pintura mural y de caballete en la biblioteca del Real Monasterio de el Escorial. Editorial Patrimonio Nacional. Madrid, 1991.

[8] PSEUDO-JUANELO TURRIANO. Los veintiún libros de los ingenios y de las maquinas. Turner. Madrid 1983.

[9] VERA, F. Científicos griegos. Aguilar. Madrid 1970.

Post-scriptum: Las matemáticas en el Apócrifo
La publicación en 1614 de la quinta, la sexta y la séptima parte de El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha firmada (con pseudónimo) por Alonso Fernández de Avellaneda, y su carácter provocador contra el autor alcalaíno, fuerza cambios en la edición de 1615 de El ingenioso caballero de Cervantes, pero también nos ofrece la posibilidad de comparar cuanta matemática hay en uno y otros libros.
La pobreza matemática del apócrifo nos permite valorar mejor la importancia que daba Cervantes a las matemáticas. Las aventuras del Caballero Desamorado ocupan una extensión inferior a un tercio de los dos libros de Don Miguel, el tamaño es suficiente para observar alguna referencia de interés. Presencia matemática hay, pero nada comparable a lo analizado anteriormente o a la riqueza de lo estudiado por Balbuena.
Los términos matemáticas, geometría o aritmética no aparecen. Como autor solo se cita a Ptolomeo vinculado a la astrología (astronomía). No hay en el apócrifo operaciones, paradojas, metáforas matemáticas, figuras, o progresiones. Pocas veces se mencionan medidas o monedas, algunas fracciones, varias veces el termino cifras, algunas docenas e innumerables el termino infinito.
Para exagerar, o expresar algo grande, se abusa de infinito: aparece prácticamente en todos los capítulos del apócrifo y en distintas variantes: infinidad o infinitamente.
Doce se encuentra varias veces ( doce pares, doce doncellas, doce leguas, doce millones en oro, doce signos), pero quizá lo más curioso es la mezcla que hace Sancho recriminando a Don Quijote en el capitulo XXVIII del sistema decimal y el docenal: no le he dicho yo cuatro mil docenas de millones de veces que no nos metamos...
Se usan por Avellaneda los términos medio, y cuartos y ochavos como monedas. También se menciona pares.
El termino cifra aparece referido más a los versos y al uso como cifrado. Merece la pena detenerse pues tanto en el sentido de versos, como en el de cifrado, como el de resumen o simplificación del mensaje está presente el sentido profundo de la matemática: dar orden, simplificar, y conceptualizar. Resulta muy interesante el uso y segunda evolución del termino cifra (cero en árabe) y como ya es utilizado por Avellaneda.
Terminamos las referencias con la medida de capacidad azumbre que es la supervivencia del termino árabe octava parte (de cántaro)

San Sebastián de los Reyes

7 de abril de 2005




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