Ante un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados
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(b) Aplicando Bayes P (  ) =  =  =  = 0´31En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.
 P(AN  BN) =  .  = P(AP BN) =  .  =  P(B novela) = p(AN BN) + P(AP BN) = + =  Hay que calcular P(A poesía / B novela) Busquemos los casos favorables de que A elija poesía sabiendo que B elige novela P(AP BN) = . = Busquemos los casos posibles que serán todos los que B haya elegido novela es decir P(N) = P(AN BN) + P(AP BN) = + = P(AP / BN) =  P(A poesía / B novela) =  En una urna hay 20 bolas , de las que 6 son blancas. Se extraen tres bo-las al azar. Se pide calcular la probabilidad de que " al menos" una sea blanca. Por la probabilidad compuesta y condicionada Al ver la expresión "al menos" hemos de pensar que conviene considerar el suceso contra-rio. Si S es el suceso extraer "al menos" una blanca de entre las tres , entonces SC sera no extraer ninguna bola blanca en las 3 extracciones Si llamamos NB al suceso "no blanca", su probabilidad es: 14 / 20 = 7 / 10 Por tanto la fórmula de la probabilidad compuesta nos dice , si las sacamos una a una, que p(NB1 ,NB2 ,NB3 ) = (14 / 20) · (13 / 19) · (12 / 18) = (7 / 10) · (13 / 19) · (2 / 3) = 91 / 285 p((NB)^3)=91/285;P(c(S))=91/285; p(NB3) 91 / 285 P( SC )91 / 285 p(S)=1-p(c(S)); p( S)1p( SC ) p( S)194 / 285 En una urna hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Hallar la probabilidad de que al extraer das bolas, resulten de la misma paridad. Al pedir que se extraigan dos bolas, poderíos considerar como si el experimento consis-tiera en sacar dos extracciones sucesivas sin remplazamiento. Esto nos indica que los dos sucesos son dependientes, pues la extracción de la segunda bola dependerá de lo que haya salido la primera. Dibujemos el diagrama en árbol correspondiente  P(ambas sean de la misma paridad) = P{ (P ∩ P) U (I ∩ I) } = P(P ∩ P) + P(I ∩ I) =  La baraja española consta de diez cartas de oros, diez copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) Si se extraen las cartas con reemplazamiento. b) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. (PAU JUNIO 2007)     La cuarta parte de una población ha sido vacunada contra una enfer-medad. Se comprueba, sin embargo, que de diez enfermos dos están vacu-nados. Se sabe, además, que de cada doce vacunados uno cae enfermo. 1. ¿ Qué probabilidad tiene un individuo de contraer la enfermedad ? 2. ¿ Qué probabilidad tiene un individuo no vacunado de contraer la enfermedad ? Diagrama en árbol Si Llamamos : V : vacunados NV : no vacunados E : Enfermo NE : no enfermo  P(V P(V) · P(E / V) =  y como p ( V / E ) =  Si aplicamos la definición de probabilidad condicionada a   Para calcular la probabilidad p ( E / NV ) partimos de la fórmula de la probabalidad Total que nos dice : p(E)p(V)· p ( E / V ) + p(NV)· p ( E / NV ) Sustituímos las probabilidades dadas o calculadas antes, despejando previamente :  La probabilidad de que un alumno de Medicina apruebe Fisiología es 0´6 ; la de que apruebe Bioquímica es 0´5 y la de que apruebe ambas es 0´2 . Se pide : 1º ) Probabilidad de que apruebe "al menos" una de las dos 2º ) Probabilidad de que no apruebe ninguna de las dos 3º ) Probabilidad de que apruebe Fisiología pero no Bioquímica 1º ) P(F U B)P(F)P(B)P(F B) Sustituyendo los datosp ( F U B ) = 0´6 + 0´5 - 0´2 = 0´9 Tiene un 90% de probabilidad de aprobar al menos una de las dos 2º ) No aprobar ninguna de las dos es el suceso (F)c (B)c(F U B)c , contrario del anteriorPor tanto, P( (F U B)c )1P(F U B) = 1 - 0´9 = 0´1 La probabilidad de no aprobar ninguna es el 10% , porcentaje complementario del anterior 90% 3º ) El suceso aprobar F y no aprobar B es el suceso : F (B)c que también se expresa como F - BPero, [FB] U [F B]F Podemos hacer un diagrama de Venn para ayudarnos a "verlo"Entonces , p (F (B)c )p (B)p (F B) Sustituyendo : P (F Bc)40%Los tigres de cierto país proceden de tres reservas: el 30% de la pri-mera, el 25% de la segunda y el 45% de la tercera. La proporción de ti-gres albinos de la primera reserva es de 0.2%, mientras que dicha pro-porción es 0.5% en al segunda, y 0.1% en la tercera. ¿Cuál es la probabi-lidad de que un tigre de ese país sea albino?  P (tigre sea albino) = P (A) · P (Alb/A) + P (B) · P (Alb/b) + P (C) · P (Alb/C) =   Los pianistas de Isla Sordina se forman en tres conservatorios, C1, C2 y C3, que forman al 40%, 35% y 25% de los pianistas, respectivamente. Los porcentajes de pianistas virtuosos que producen estos conservatorios son del 5%, 3% y 4%, respectivamente. Se selecciona un pianista al azar. (a) Calcular la probabilidad de que sea virtuoso. (b) El pianista resulta ser virtuoso. Calcular la probabilidad de que se haya formado en el primer conservatorio (C1). (PAU JUNIO 2007)   = 0´4 · 0´05 + 0´35 · 0´03 + 0´25 · 0´04 = 0´02 + 0´0105 +0´0100 =  Once bolas que llevan grabados los números del 1 al 11, estan reparti-das en tres urnas. Una de estas urnas contiene las bolas con los números 1,2,3,4 y 5, otra las que corresponden a los números 6,7,8,y 9 y la tercera a las dos bolas restantes. Elegida una urna al azar se sacan dos bolas. ¿Cual es la probabilidad de que la suma de los números sea par? Para que la suma de los números sea par es necesaria que las dos bolas extraídas sean pares o las dos impares.        Sea E un espacio muestral, A y B sucesos de E y p una medida de probabilidad en E. Sabiendo que p(A) = 3/5, p(B) = 2/5 y p(A U B) - p(A B) = 3/10, se pide hallar: 1º ) p(A U B) 2º ) p(A B) Transformamos la fórmula teórica p(AUB)p(A)p(B)p(A B) en : p(A U B)p(A B)p(A)p(B) y si sustituimos los datos p(A)p(B)3/5 + 2/5 tenemos : p(A U B)p(A B)1 De los datos obtenemos : p(A U B)p(A B)3 / 10 Podemos considerar que tenemos un sistema de ecuaciones en el que conoce-mos la unión y la intersección de las probabilidades que nos piden. Las soluciones son: Sumando: 2 p(A U B) = 1 + 3 / 10 = 13/10 p (A U B) = 13 / 20 = 0,65 Restando: 2 p(A B) = 1 – 3/10 = 7/10 p(A B) = 7/20 = 0,35 p(A U B)65/100 , p(A B)35/100 Sean A, B y C tres sucesos incompatibles, tales que p(A) = 1/2 , p(B) = 1/4 y p(C) = 4/25, se pide calcular la probabilidad de los sucesos siguientes : 1º ) el suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B. 2º ) el suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B y sí tenga lugar C Llamamos S = {(A)c Λ (B)c } y T = {(A)c Λ (B)c Λ C} Por Morgan S = {(A U B)c } => p (S) = p (A U B)c = 1 - p (A U B) Como A y B incompatibles por enunciado => p(A U B ) = p(A)+ p(B) => p( S ) = 1 – { p(A) + p(B) } = 1 – { 1/2 + 1/4 } = 1 / 4 Por otro lado T= { (A U B)c Λ C} o bien T = {(A)c Λ (B)c Λ C} Pero (B)c Λ C = C ( Basta hacer un diagrama de Venn-Euler ) Por lo mismo, T = { (A)c Λ C} => T = { C } ; p(T) = p(C) = 4 / 25 Sean A y B dos sucesos arbitrarios independientes cuyas probabili-dades respectivas son P(A) y P(B). Se pide expresar en función de p(A) y de P(B), la probabilidad del suceso (AC ∩ BC) U (AC ∩ BC) Como se puede ver, los dos sucesos que se tienen que unir son el mismo, luego la unión será el suceso AC ∩ BC (1) (2) (3) P(AC ∩ BC) = === = P[ (A U B)C } = === = 1 - P(A U B) = ==== = (4) 1 - { P(A ) + P(B) - P(A ∩ B) } = ==== = 1 - { P(A) + P(B) — P(A)∙P(B) } P(AC ∩ BC) = 1 – P(A) - P(B) + P(A) ∙ P(B) (1) Por una de las dos leyes de Morgan. (2) Por la probabilidad de sucesos contrarios. (3) Por la probabilidad de dos sucesos compatibles en los que existe intersección. (4) Por ser A y B sucesos independientes. Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0’3, P(B) = 0’7 y P(A ∩ B) = O’1. Se pide calcular las siguientes probabilidades: P(AC); P(AC ∩ BC) P(A ∩ BC) y P(AC U BC) a) P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0’3 = 0’7 b) P(AC ∩ BC) = Leyes de Morgan = P{(A U B)C} = 1 – P(A U B) Para calcular P(A U B) = por ser compatibles = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = = 0´3 + 0´7 – 0´1 = 0’9. Con lo que P(AC ∩ BC) = 1 - O’9 = O’1 c) P(A ∩ BC) = P(A) - P(A ∩ B) = 0’3 - O’1 = 0´2 d) P(AC U BC) = Leyes de Morgan = P{(A ∩ B)C} = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0,1 = 0’9 Sean los sucesos A y B, donde conocemos las probabilidades P(A)=  , P (B) = , P(AB) =  . Determinar si son compatibles o incompatibles, dependientes e independientes.Si la P(AB)=0, los sucesos serán incompatibles como P(AB) = P(A)+ P(B)- P(AB) → = + – P(AB) → P(AB) =  – =  0Los sucesos serán por tanto compatibles. Si P(AB) = P(A). P(B) los sucesos A y B serán independientes. Como P(A). P(B) = . =  y P(AB) = Los sucesos serán por tanto dependientes. |
