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epistémologie et didactique. reserches en didactique des mathématiques. vOL.10, Nº 23. 1990



Traducción de un TExto escrito en francés

MARIA FERNANDA ESPITIA OLAYA


Epistemología y didáctica

Michele Artigue


RESUMEN ...
Es usual presentar la didáctica de la matemática como un campo científico en donde confluyen otros campos diversos: matemática, epistemología, lingüística, sicología, sociología, ciencias de la educación... y, haciendo hincapié en el papel que pueden jugar estas ciencias dentro de su desarrollo, se insiste sobre el hecho que la problemática didáctica conduce a conservar mas o menos profundamente las herramientas, conceptuales o metodológicas, que la investigación le aporta.
En este texto, resultado de las reflexiones realizadas dentro del marco del desarrollo de una maestría en matemática de la Universidad de París VII, cuyo proyecto se titula: “Aproximación histórica y didáctica de la matemática” me centraré en las relaciones entre la epistemología y la didáctica, es decir sobre las necesidades que pueden formularse en términos del conocimiento de los procesos por los cuales los conceptos matemáticos se forman y se desarrollan y más generalmente del conocimiento de las características de la actividad matemática.


1.Epistemología – objeto del saber científico – objetos de enseñanza



En un primer nivel, el análisis epistemológico es necesario para el didáctico ya que tiene el fin de ayudarle a colocar a distancia y bajo control las “representaciones epistemológicas” 2 de las matemáticas inducidas por la enseñanza:


  • Proporcionando una historicidad a los conceptos matemáticas que la enseñanza usual tiende a presentar como objetos universales tanto en el tiempo como en el espacio.

  • Proporcionando, a la vez, una historicidad a las nociones matemáticas como las de rigor, ya que la enseñanza usual cultiva la ficción de un rigor eterno y perfecto de las matemáticas.


2 La noción de “representaciones epistemológicas” se introduce aquí para diseñar las concepciones que se forjan dentro de este dominio un individuo dado, a través de su propia vivencia matemática. Esa noción se acerca a las representaciones “metacognitivas” introducidas por A. Robert y J Robinet (cf. por ejemplo (3)): las representaciones epistemológicas constituyen, de hecho, uno de los componentes de las representaciones metacognitivas.

Dentro del mundo de la enseñanza, la introducción dentro del rigor matemático se simboliza por la introducción dentro del universo de la geometría demostrativa, y la referencia implícita o explícita a la geometría griega ligada a esta representación, contribuye a conducir y reforzar esta ficción de un rigor fuera del tiempo y del espacio.
El análisis epistemológico (cf. Por ejemplo “El rigor y el cálculo” (1), E. Barbin (2)) coloca en evidencia la evolución del rigor con el paso del tiempo, su dependencia de los dominios matemáticos relativos y los niveles de elaboración de los objetos que el manipula. El ejemplo del Calculo Infinitesimal me parece particularmente significativo en esta dependencia del campo. Este se va a desarrollar, a partir del siglo XVIII, esencialmente alrededor de los métodos: método de los indivisibles (Cavalieri, Roberval...), método de igualación (Fermat), método de particiones infinitesimales (Leibniz, Bernoulli...), método de series (este ultimo constituye un proceso efectivo para el estudio de las funciones sobre todo durante el siglo XVIII).
Y aquello que valida estos métodos, por lo menos durante los primeros tiempos, es ante todo, su carácter, es decir su capacidad de adaptación a la resolución de una gran cantidad de problemas y su productividad. El entusiasmo del extracto del prefacio del primer tratado de Calculo Infinitesimal escrito por Le Marquis de L’Hospital (4) demuestra estos sentimientos:
“ El alcance de este cálculo es inmenso: es conveniente para el estudio de las curvas tanto mecánicas como geométricas, los signos radicales le son indiferentes y a menudo cómodos, se extiende a tantas indeterminadas como se quiera; y es igualmente fácil la comparación de infinitesimales de todos los géneros Mas allá de una infinidad de descubrimientos sorprendentes”.
A través de esta relativización del rigor, el análisis epistemológico igualmente nos muestra que los problemas de fundamento esta lejos de ser siempre “primeros” en matemáticas. El ejemplo del Análisis es, por ésta razón, aún sorprendente: sus fundamentos no se aplican sino después de siglos de utilización, la investigación sobre los fundamentos es, por otra parte, motivada mas por la necesidad de transmitir la ciencia que por las necesidades resultado del desarrollo científico. (cf. Por ejemplo Dahan, J. Peiffer (5)).

En esta dirección, aquella de la vigilancia epistemológica, de la toma de distancia con respecto al objeto de estudio, el análisis epistemológico igualmente permite al didáctico tomar la medida de las diferencias existente entre saber “sabio”, para retomar la expresión que introdujo Y Chevallard en (6), y saber “enseñado”. De hecho, ya que la Escuela vive sobre la ficción que consiste en ver dentro de los objetos de enseñanza las copias simplificadas pero fieles de los objetos de la ciencia, el análisis epistemológico, que nos permitimos comprender, es el que gobierna la evolución del conocimiento científico y nos ayuda a tomar conciencia de la distancia que separa las economías de los dos sistemas.
La división del saber en partes susceptibles de ser enseñadas sucesivamente a un público determinado, hace que la apropiación 3 de este saber pueda ser sancionada sobre la base de un grupo restringido de competencias, por ejemplo los inconvenientes que pesan fuertemente sobre la enseñanza pero que son desprovistos de significación en términos de la evolución del saber “sabio”.
Y. Chevallard (cf. (6)) ha traído a la didáctica de las matemáticas la noción de transposición didáctica, inicialmente propuesta por M. Verret (cf. (8)), justamente con el fin de tener en cuenta esas diferencias.

En resumen, se ha visto en este primer fragmento que el análisis epistemológico ayuda a la didáctica a retomar la ilusión de transparencia de los objetos que ella manipula al nivel del saber y ayuda al didáctico a librarse de representaciones epistemológicas erróneas que tienden a inducir su enseñanza. Pero, la epistemología interviene a un nivel aun más esencial que aquel de la teorización didáctica.

3 En algunos textos recientes (cf por ejemplo (7)). Y. Chevallard rechaza los términos masivamente utilizados “apropiación” y “adquisición”. Estos términos reflejan para el directamente la relación cultural del saber en vigor dentro de nuestra sociedad, una relación cultural que pesa sobre la institución escolar e indirectamente sobre el didáctico pero no esta adaptado para la aprehensión teórica satisfactoria de los fenómenos en juego. Esta visión cultural es particularmente dicotómica: se posee el saber pero no se le posee como una casa o un carro, y ese hecho tiende a negar la diversidad de las resultados del saber. Se discute, tal vez, aun la presencia de una ficción que obliga a entretener el sistema de enseñanza pero en el cual el didáctico no debe arriesgarse a ser engañado. La teorización en términos de resultados del saber que se desarrolla dentro de una perspectiva antropológica es una herramienta que le va a permitir retomarse.
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