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Respuesta a las objeciones.

Nuestro sistema, concerniente al espacio y el tiempo, consta de dos partes que se hallan íntimamente enlazadas entre sí. La primera depende de la cadena de este razonamiento: La capacidad de la mente no es infinita; por consecuencia, la idea de la extensión o duración consta de un número de partes o ideas inferiores, pero en número finito, y éstas son simples e indivisibles; es, pues, posible para el espacio y el tiempo existir de acuerdo con esta idea, y si es posible, es cierto que deben existir actualmente de acuerdo con ella, pues su divisibilidad infinita es totalmente imposi­ble y contradictoria.

La otra parte de nuestro sistema es una consecuencia de ésta. Las partes en que las ideas del espacio y el tiempo se dividen son, por último, indivisibles, y estas partes indivisibles, no siendo nada en sí mismas, son inconcebibles cuando no se hallan llenas de algo real y existente. Las ideas del espacio y el tiempo no son, por consiguiente, ideas separadas o diferentes, sino tan sólo el modo o el orden en que los objetos existen, o, en otras palabras, es imposible concebir un vacío y extensión sin materia o un tiempo en el que no haya sucesión o cambio en una existencia real. La conexión íntima entre las partes de nuestro sistema es la razón por que examina­remos juntas las objeciones que han sido presentadas contra ambas, comenzando con las contrarias a la divisibilidad finita de la extensión.

1. La primera de estas, objeciones, de que me ocuparé, es más apropiada para probar la conexión y dependencia de una parte de otra que para destruir alguna de ellas. Ha sido sostenido frecuentemente en las escuelas que la extensión debe ser divisible al infinito, porque el sistema de los puntos matemáticos es absurdo, y que este sistema es absurdo porque el punto matemático es algo sin existencia, y, por consiguiente, no puede formar una existencia real por su unión con otros. Esto sería totalmente decisivo si no existiese un término medio entre la infinita divisibilidad de la materia y la no existencia de los puntos matemáticos; pero existe evidentemente un término medio, a saber: el conceder color o solidez a estos puntos, y el absurdo de ambos extremos se ve en la demostración de la verdad y realidad de este término medio. El sistema de los puntos físicos, que es otro término medio, es demasiado absurdo para necesitar de una refutación. Una extensión real, del género que se supone ser un punto físico, no puede jamás existir sin partes diferentes entre sí, y siempre que los objetos son diferentes son distinguibles y separables por la imagina­ción.

2. La segunda objeción se deriva de la necesidad de la penetración si la extensión consistiese en puntos matemáticos. Un átomo simple e indivisible que toca a otro debe necesariamente penetrarlo, pues es imposible que pueda tocarle en sus partes externas, dado el supuesto de su simplicidad perfecta que excluye toda parte. Por consiguiente, debe tocarle íntimamente y en su esencia total secundum se, tota, et totaliter, que es la verdadera definición de la penetración. Pero la penetración es imposible; por consecuencia, los puntos matemáticos son igualmente imposibles.

Respondo a esta objeción substituyendo una idea exacta de la penetración. Supóngase que dos cuerpos no teniendo un espacio vacío dentro de su circunferen­cia se aproximan el uno al otro y se unen de manera tal que el cuerpo resultante de su unión no es más extenso que uno de ellos; esto es lo que debemos entender cuando hablamos de penetración; pero es evidente que esta penetración no es más que el aniquilamiento de uno de los cuerpos y la conservación del otro sin hallarse en situación de poder distinguir en particular cuál es el conservado y cuál es el aniqui­lado. Antes de su contacto tenemos la idea de dos cuerpos; después tenemos tan sólo la idea de uno. Es imposible para la mente mantener una noción de diferencia entre dos cuerpos de la misma naturaleza existiendo en el mismo lugar y tiempo.

Tomando, pues, la penetración en este sentido, a saber: en el del aniquilamiento de un cuerpo por su contacto con otro, pregunto si alguien ve la necesidad que un punto coloreado o tangible sea aniquilado por la aproximación de otro coloreado o tangible. ¿No se percibirá, evidentemente, por el contrario, que de la unión de estos puntos resulta un objeto que es compuesto y divisible y que puede ser dividido en partes, cada una de las cuales conserva su existencia, diferente y separada, no obs­tante su contigüidad con otras? Ayudemos a la fantasía imaginando que estos puntos son de diferentes colores y de los más apropiados para evitar su unión y confusión. Un punto azul y un punto verde pueden, seguramente, hallarse contiguos sin ningu­na penetración o aniquilación; pues si no pudiese ser así, ¿qué sucedería con ellos? ¿Cuál sería aniquilado, el rojo o el azul? O si estos colores se fundiesen en uno, ¿qué nuevo color producirían por su unión?

Lo que da capitalmente origen a estas objeciones y al mismo tiempo hace tan difícil darles una respuesta satisfactoria es la debilidad e inestabilidad natural de nuestra imaginación y nuestros sentidos cuando se dirigen a tales objetos diminutos. Póngase una mancha de tinta sobre un pedazo de papel y retírese a una distancia tal que la mancha llegue a ser totalmente invisible; se hallará que, al volver a aproxi­marlo, la mancha se hace visible sólo en pequeños intervalos primeramente, que después se hace visible siempre, que después aun adquiere mayor intensidad en su coloración sin aumentar de tamaño, y que cuando ha aumentado hasta un grado en que se halla realmente extensa es difícil para la imaginación deshacerla en sus partes componentes a causa del desagrado que halla en la concepción de un objeto tan diminuto como es un punto único. Esta debilidad influye, en los más de nuestros razonamientos, acerca del presente asunto y hace casi imposible responder de una manera inteligible y en expresiones adecuadas muchas cuestiones que pueden surgir referentes a ellos.

3. Existen muchas objeciones sacadas de las matemáticas contra la indivisibili­dad de las partes de la extensión, aunque a primera vista estas ciencias parecen más bien favorables a esta doctrina, y si es contraria a sus demostraciones es perfecta mente compatible con sus definiciones. Mi presente tarea debe ser defender las de­finiciones y refutar las demostraciones.

Una superficie se define como siendo larga y ancha sin poseer profundidad; una línea, como larga sin ancho y profundidad; un punto, como lo que no tiene ni longi­tud, ni ancho ni profundidad. Es evidente que esto es perfectamente ininteligible, partiendo de otro supuesto que no sea la composición de la extensión por puntos o átomos subdivisibles. ¿Cómo de otra manera podría existir algo sin longitud, lati­tud, profundidad?

Dos diferentes respuestas encuentro que se han dado a este argumento, pero ninguna de ellas es, a mi ver, satisfactoria. La primera es que los objetos de la geo­metría, cuyas superficies, líneas y puntos, cuyas proporciones y posiciones se examinan, son meras ideas del espíritu, y no sólo no existen, sino que no pueden existir jamás en la naturaleza. No existen porque ninguno puede pretender trazar una línea o hacer una superficie que concuerde enteramente, con la definición, y no pueden existir porque podemos presentar demostraciones, partiendo de estas ideas, para probar que son imposibles.

Sin embargo, ¿puede imaginarse algo más absurdo y contradictorio que este ra­zonamiento? Todo lo que puede ser concebido por una idea clara y distinta implica necesariamente la posibilidad de existencia, y quien pretenda probar la imposibilidad de su existencia por un argumento derivado de la idea clara afirma en realidad que no tenemos una idea clara de ello porque tenemos una idea clara. Es en vano buscar una contradicción en algo que se concibe distintamente por el espíritu. Si implicase una contradicción, sería imposible que pudiese ser jamás concebido.

No existe, pues, término medio entre la concesión, por lo menos, de la posibili­dad de los puntos indivisibles y la negación de sus ideas, y sobre este último princi­pio se basa la respuesta al precedente argumento. Se ha pretendido(8) que, aunque es imposible concebir la longitud sin alguna latitud, sin embargo, por una abstrac­ción, sin separación, podemos considerar la una sin tener en cuenta la otra, del mis­mo modo que pensamos la longitud del camino entre dos ciudades omitiendo su ancho. La longitud es inseparable de la latitud, tanto en la naturaleza como en nues­tros espíritus; pero no excluye una consideración parcial y una distinción de razón, del modo que antes hemos explicado.

Al refutar esta respuesta no insistiré sobre el argumento que ya he explicado de un modo suficiente, a saber: que si fuese imposible para el espíritu llegar a un míni­mum para sus ideas, su capacidad debería ser infinita, para comprender el infinito número de partes de las que se compondría su idea de extensión. Trataré de hallar nuevos absurdos en este razonamiento.

Una superficie limita un sólido, una línea limita una superficie, un punto limita una línea; yo afirmo que si las ideas de punto, línea o superficie no fueran indivisibles sería imposible que concibiésemos estas limitaciones, pues si supusiésemos que eran infinitamente divisibles y que la fantasía trataba de fijarlas en la idea de la superfi­cie, línea o punto, inmediatamente hallaría ésta que la idea se deshacía en partes, y apoderándose de estas últimas partes perdería su dominio por una nueva división, y así en infinito, sin posibilidad alguna de llegar a una última idea. El número de fracciones no la llevaría más cerca de la última división que la primera idea que se ha formado. Toda partícula escapa de nuevo por una nueva división, del mismo modo que el mercurio cuando intentamos cogerlo con la mano. Pero como de hecho debe existir algo que termine la idea de toda cantidad finita, y como esta idea termi­nal no puede constar de partes o ideas inferiores -de otro modo sería la última de sus partes la que terminaba la idea, y así sucesivamente- es esto una prueba clara de que las ideas de superficies, líneas y puntos no admiten ninguna división, a saber: las de las superficies en profundidad, las de las líneas en latitud y profundidad y las de los puntos en una división cualquiera.

Los escolásticos fueron tan sensibles a la fuerza de este argumento que algunos de ellos mantuvieron que la naturaleza había mezclado entre las partículas de la materia, que son divisibles al infinito, un cierto número de puntos matemáticos para dar una terminación a los cuerpos, y otros evitaban la fuerza de este razonamiento por un cúmulo de cavilaciones y distinciones ininteligibles. Ambos adversarios con­cedían igualmente la victoria. El que se oculta a sí mismo confiesa la superioridad evidente de su enemigo tanto como el que entrega honradamente sus armas.

Así, aparece que las definiciones de los matemáticos destruyen las pretendidas demostraciones y que si tenemos ]a idea de puntos, líneas y, superficies indivisibles, según la definición, su existencia es ciertamente posible; pero que si no tenemos una idea semejante es imposible que podamos concebir la limitación de alguna figura, concepción sin la que no es posible una demostración geométrica.

Voy más lejos y afirmo que ninguna de estas demostraciones puede tener sufi­ciente peso para establecer un principio tal como el de la infinita divisibilidad, y esto porque con respecto a semejantes objetos diminutos no existen propiamente demos traciones, hallándose construidos sobre ideas que no son exactas y máximas que no son precisamente verdaderas. Cuando la geometría decida algo concerniente a las proporciones de cantidad no debemos exigir la máxima precisión y exactitud. Nin­guna de sus pruebas se extiende tan lejos; toma sus dimensiones y proporciones de las figuras con precisión, pero toscamente y con alguna libertad. Sus errores jamás son considerables y no se equivocaría de ningún modo si no aspirase a una perfec­ción absoluta tal.

Yo pregunto a los matemáticos qué entienden al decir que una línea o superficie es igual a otra o mayor o menor que otra. Haced que alguno de ellos responda, sea cualquiera la secta a que pertenezca, y mantenga la composición de la extensión por puntos indivisibles o por cantidades divisibles al infinito; la respuesta lo embarazará en ambos casos.

Hay pocos matemáticos que defiendan la hipótesis de los puntos indivisibles, y éstos tienen la respuesta más fácil y exacta para la presente cuestión. Necesitan tan sólo replicar que las líneas o superficies son iguales cuando el número de puntos de cada una es igual al de la otra, y que como la proporción de los números varía, varía también la proporción de las líneas y las superficies. Pero aunque esta respuesta es tan precisa como manifiesta, puedo afirmar que su criterio de igualdad es completa­mente inútil y que jamás determinamos por una comparación tal que los objetos sean iguales o desiguales con respecto los unos de los otros, pues como los puntos que entran en la composición de una línea o superficie, ya se perciban por la vista o el tacto, son tan diminutos y se confunden tanto los unos con los otros que es total­mente imposible para el espíritu contar su número, una numeración tal jamás nos aportará un criterio para que podamos juzgar de las proporciones. Nadie será capaz de determinar, por una exacta enumeración, que una pulgada tiene cinco puntos más que un pie o un pie cinco menos que un codo, o una medida mayor, por cuya razón rara vez o nunca consideramos esto como el criterio de igualdad o desigualdad.

Igualmente es imposible a los que imaginan que la extensión es divisible al infi­nito hacer uso de esta respuesta o fijar la igualdad de una línea o superficie por la enumeración de sus partes componentes, pues dado que, según su hipótesis, tanto la más pequeña como la más grande figura contiene un número infinito de partes, y dado que los números infinitos, propiamente hablando, no pueden ser iguales o mayores los unos con respecto de los otros, la igualdad o desigualdad de una por­ción del espacio no puede jamás depender de una relación del número de sus partes. Es cierto, puede decirse, que la desigualdad de un codo y de una yarda consiste en los diferentes números de pies de los cuales están compuestos, y la de un pie y una yarda, en el número de pulgadas; pero como la cantidad que llamamos una pulgada en la una se supone igual a la que llamamos una pulgada en la otra y es imposible para el espíritu hallar esta igualdad, procediendo en el infinito con esta referencia a cantidades inferiores, es evidente que, por último, debemos fijar algún criterio de igualdad diferente de la enumeración de las partes.

Hay algunos que pretenden (9) que la igualdad se define mejor por la congruen­cia y que dos figuras son iguales cuando colocando la una sobre la otra todas sus partes se corresponden y tocan entre sí. Para juzgar de esta definición consideremos que, puesto que la igualdad es una relación, no es, propiamente hablando, una pro­piedad de las figuras mismas, sino que surge meramente por la comparación que el espíritu hace entre ellas. Si consiste, por consiguiente, en esta aplicación y contacto mutuo de las partes, imaginario, debemos al menos tener una distinta noción de estas partes y debemos concebir su contacto. Ahora bien; es claro que, según esta concepción, deberíamos recorrer estas partes hasta las más pequeñas que puedan ser concebidas, puesto que el contacto de partes grandes jamás haría iguales a las figu­ras; pero las partes más diminutas que podemos concebir son los puntos matemáti­cos y, por consecuencia, el criterio de igualdad es el mismo que hemos derivado de la igualdad del número de puntos que ya determinamos, que era exacto, pero inútil. Por consiguiente, debemos buscar en alguna otra parte, la solución de las dificulta­des presentes.

Existen muchos filósofos que rehúsan indicar un criterio de igualdad, pero afir­man que es suficiente presentar dos objetos que son iguales para darnos una idea precisa de su relación. Todas las definiciones, dicen, son infecundas sin la percepción de objetos tales, y cuando percibimos objetos tales no necesitamos ninguna definición. Estoy enteramente de acuerdo con este razonamiento y afirmo que la única noción útil de igualdad o desigualdad se deriva de la apariencia total y de la comparación de los objetos particulares.

Es evidente que la vista, o más bien el espíritu, es capaz frecuentemente de deter­minar de un golpe las proporciones de los cuerpos y declararlos iguales, o más gran­des o pequeños los unos con respecto de los otros, sin examinar o comparar el número de sus partes diminutas. Juicios tales no sólo son corrientes, sino también en muchos casos infalibles y ciertos. Cuando se presentan la medida de una yarda y la de un pie, el espíritu no pone ya en cuestión más que la primera es más larga que la segunda que puede dudar de los principios que son más claros y evidentes.

Existen, pues, tres relaciones que el espíritu distingue en la aparición general de los objetos y que designa por los nombres de más grande, más pequeño e igual. Sin embargo, aunque sus decisiones con respecto a estas relaciones sean a veces infalibles, no lo son siempre y no se hallan nuestros juicios de este género más exentos de duda y error que los referentes a otro asunto. Corregimos frecuentemente nuestra opinión por la revisión y reflexión y declaramos que son iguales objetos que a pri­mera vista habían sido estimados desiguales, y estimamos un objeto menor aunque antes nos había parecido mayor que otro. No es ésta la única corrección a que se hallan sometidos estos juicios de nuestros sentidos, sino que frecuentemente descu­brimos nuestro error por una yuxtaposición de los objetos o cuando es impracticable por el uso de alguna medida común e invariable que, aplicándose sucesivamente a cada uno, nos informa de sus diferentes relaciones. Aun esta corrección es suscepti­ble de una nueva corrección y de diferentes grados de exactitud, según la naturaleza del instrumento por el que medimos los cuerpos y el cuidado que ponemos en la comparación.

Cuando el espíritu, pues, está acostumbrado a estos juicios y a sus correcciones y halla que la misma relación que hace que dos figuras tengan para la vista la apa­riencia que llamamos igualdad hace que se correspondan la una a la otra y a una medida común con la que son comparadas, nos formamos una noción mixta de la igualdad derivada a la vez de los métodos interminados y estrictos de comparación. Pero no nos contentamos con esto, pues una sólida razón nos convence de que exis­ten cuerpos que son mucho más diminutos que los que aparecen a nuestros sentidos, y como una falsa razón nos persuadiría de que existen cuerpos infinitamente más diminutos, percibimos claramente que no poseemos ningún instrumento o arte para medir que nos pueda asegurar contra nuestro error e incertidumbre. Nos damos cuenta de que la adición o substracción de una de estas partes diminutas no es discernible ni en la apariencia ni en la medida, y como imaginamos que dos figuras que eran igua­les antes no pueden ser iguales después de esta substracción o adición, suponemos imaginariamente algún criterio de igualdad por el que las apariencias y medidas son corregidas exactamente y las figuras reducidas enteramente a esta relación. El crite­rio es claramente imaginario, pues como la verdadera idea de igualdad es la de una apariencia tal corregida por yuxtaposición o medida común, la noción de una co­rrección ulterior a la que podemos hacer por tener instrumentos y arte para ello es una mera ficción del espíritu y tan inútil como incomprensible. Pero aunque este criterio sea solamente imaginario, la ficción, sin embargo, es muy natural y no hay nada más natural para el espíritu que proceder de este modo en una acción aun después que la razón que la determinó a comenzarla ha cesado. Esto aparece de un modo muy notable con respecto al tiempo en el que, aunque es evidente que no tenemos un método exacto para determinar las relaciones de las partes ni aun tan exacto como en la extensión, sin embargo, las varias correcciones de nuestras medi­das y sus diferentes grados de exactitud nos han dado una noción obscura e implícita de una igualdad perfecta y total. Sucede lo mismo con otros muchos asuntos. Un músico, hallando que su oído se hace cada día más delicado y corrigiéndose a sí mismo con la reflexión y atención, procede con el mismo acto del espíritu, aun cuando el asunto no lo permite, y abriga la idea de una tercera y una octava perfecta sin ser capaz de decir de dónde deriva este criterio. Un pintor se forma la misma ficción con respecto a los colores; un mecánico, con respecto al movimiento. Para el uno, luz y sombra; para el otro, rapidez y lentitud parecen ser capaces de una compa­ración exacta e igualdad rigurosa más allá de los juicios de los sentidos.

Podemos aplicar el mismo razonamiento a las líneas curvas y rectas. Nada es más manifiesto para los sentidos que la distinción entre línea recta y curva, y no existen ideas que podamos formarnos más fácilmente que las de estos objetos. Sin embargo, a pesar de que podamos formarnos tan fácilmente estas ideas, es imposi­ble dar una definición de ellas que fije sus límites precisos. Cuando, trazamos líneas sobre un papel o una superficie continua existe un cierto orden, según el cual las líneas pasan de un punto a otro de modo que pueden producir la impresión total de una línea curva, o recta; pero este orden es totalmente desconocido y no es observa­do más que la apariencia unitaria. Así, aun basándonos en el sistema de los puntos indivisibles, podemos tan sólo formarnos una noción remota de algún criterio des­conocido para estos objetos. Basándonos en la noción de la infinita divisibilidad no podemos ir tan lejos, sino que nos hallamos reducidos meramente a la apariencia general como regla por la que determinamos que las líneas son curvas o rectas. Aunque no podemos dar una definición perfecta de estas líneas ni producir un méto­do exacto para distinguir las unas de las otras, esto no nos impide, sin embargo, corregir la primera apariencia por una consideración más exacta y por la compara­ción con alguna regla de cuya exactitud tenemos una mayor seguridad mediante repetidos ensayos. Partiendo de estas correcciones y progresando con la misma ac­ción del espíritu, aun cuando su razón no existe, nos formamos la idea independien­te de un criterio perfecto de estas figuras, sin ser capaces de explicarlo o compren­derlo.

Es cierto que los matemáticos pretenden dar una definición exacta de la línea recta cuando dicen que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos; pero, en primer lugar, observo que esto es más propiamente el descubrimiento de una de las propiedades de la línea recta que una definición de la línea recta. Pues pregunto que si al mencionar la línea recta no se piensa inmediatamente en una tal aparición particular y sí sólo por accidente, ¿no se considera esta propiedad? Una línea recta puede comprenderse por sí sola; pero esta definición es ininteligible sin una compa­ración con otras líneas que concebimos ser más extensas. En la vida corriente está establecido como una máxima que el camino más derecho es el más corto, lo que sería tan absurdo como decir que el camino más corto es el más corto si nuestra idea de línea recta no fuera diferente del camino más corto entre dos puntos.

Segundo: repito lo que ya he establecido, a saber: que no tenemos una idea pre­cisa de la igualdad o desigualdad de más corto o más largo que de la línea recta o curva, y, por consecuencia, que lo uno jamás puede proporcionarnos un criterio perfecto para lo otro. Una idea exacta jamás puede construirse sobre otras tan inco­nexas e indeterminadas.

La idea de una superficie plana es tan poco susceptible de un criterio preciso como la de línea recta, y no tenemos más medios para distinguir una superficie de este género que su apariencia general. En vano los matemáticos representan una superficie plana como producida por el movimiento de una línea recta. Se objetará en seguida que nuestra idea de superficie es tan independiente de este modo de formar una superficie como nuestra idea de la elipse lo es de la de un cono; que la idea de una línea recta no es más precisa que la de una superficie plana; que una línea recta puede moverse irregularmente y por este medio formar una figura muy diferente de un plano, y que, por consiguiente, debemos suponer que se; mueve a lo largo de dos líneas paralelas entre sí y en el mismo plano, lo que es una descripción que explica una cosa por sí misma y se mueve en un círculo.

Resulta, pues, que las ideas que son más esenciales a la geometría, a saber: las de igualdad y desigualdad de línea recta y superficie plana, se hallan muy lejos de ser exactas y determinadas según nuestro modo común de concebirlas. No solamente somos incapaces de decir, si el caso es dudoso, cuándo figuras particulares son igua­les, cuándo una línea es recta y cuándo una superficie es plana, sino que no podemos formarnos una idea de la relación o de estas figuras que sea firme o invariable. Apelamos al juicio débil y falible que pronunciamos acerca de la apariencia de los objetos y lo corregimos por un compás o una medida corriente, y si unimos el su­puesto de una corrección ulterior, ésta es de un género tal que resulta inútil o imagi­naria. En vano recurriremos al tópico común y emplearemos el supuesto de una divinidad cuya omnipotencia pueda capacitarla para formar una figura geométrica perfecta y trazar una línea recta sin ninguna curva o inflexión. Como el último crite­rio de estas figuras no se deriva más que de los sentidos y la imaginación, es absurdo hablar de una perfección más allá de lo que estas facultades pueden juzgar, pues la verdadera perfección de algo consiste en su conformidad con su criterio.

Ahora bien; ya que estas ideas son tan inconexas e inciertas, preguntaría gustoso a los matemáticos qué seguridad infalible tienen, no sólo de las más complicadas y obscuras de su ciencia, sino también de los principios más vulgares y corrientes. Por ejemplo: ¿Cómo pueden probarme que dos líneas rectas no tienen un segmento co­mún, o que es imposible trazar más de una línea recta entre dos puntos? Si me dijesen que estas opiniones son manifiestamente absurdas y que repugnan a nuestras ideas claras, respondería que no negaré que cuando dos líneas se inclinan la una sobre la otra formando un ángulo perceptible, es absurdo imaginar que tienen un segmento común; pero si suponemos que estas dos líneas se aproximan a razón de una pulgada cada veinte leguas, no encuentro absurdo alguno en afirmar que des­pués de su contacto se conviertan en una; pues yo ruego se me diga por qué regla o criterio se juzga cuando se afirma que la línea en que he supuesto que se funden no puede formar una línea recta con las dos que forman un ángulo tan pequeño entre ellas. Se debe poseer, seguramente, una idea de la línea recta con la que esta línea no concuerda. Se entiende, por consiguiente, que no toma sus puntos en el mismo or­den y según la misma regla que es peculiar y esencial a la línea recta. Si así es, diré que, aparte de que al juzgar de este modo se concede que la extensión está compues­ta de puntos indivisibles (lo que es quizá más de lo que se pretende), no es éste el criterio según el que se forma la idea de una línea recta, y que, si lo fuese, no existe una firmeza tal en nuestros sentidos e imaginación que pueda determinar cuándo este orden se halla mantenido o violado. El modelo original de una línea recta no es en realidad mas que una cierta apariencia general, y es evidente que las líneas rectas deben ser obligadas a coincidir unas con otras y a corresponder con su modelo, aunque sean corregidas por todos los medios practicables o imaginables.

Sea el que quiera el lado hacia donde los matemáticos dirijan sus miradas, en­cuentran siempre este dilema. Si juzgan de la igualdad o de alguna otra relación mediante el criterio exacto y preciso, a saber: la enumeración de las partes diminutas e indivisibles, emplean un criterio que es inútil en la práctica y que establece la indivisibilidad de la extensión que tratan de rechazar. Si emplean, como es corrien­te, el criterio inexacto derivado de la comparación de objetos partiendo de su apa­riencia general, corregida por la medida y yuxtaposición, sus primeros principios, aunque ciertos e infalibles, son demasiado rudimentarios para proporcionar una in­ferencia tan sutil como la que comúnmente obtienen de ellos. Los primeros princi­pios se basan en la imaginación y los sentidos; la conclusión, por lo tanto, no puede ir jamás más allá de estas facultades y mucho menos en contra.

Esto nos debe abrir un poco los ojos y permitirnos ver que ninguna demostración geométrica en favor de la infinita divisibilidad de la extensión puede tener tanta fuerza como naturalmente atribuimos a todo argumento que se basa en pretensiones tan magníficas. Al mismo tiempo podemos enterarnos de la razón de por qué la geometría fracasa en su evidencia con respecto a este punto particular, mientras que todos sus demás razonamientos adquieren nuestro pleno asentimiento y aprobación. De hecho parece más importante dar la razón de esta excepción que mostrar que debemos realmente hacer esta excepción y considerar todos los argumentos en favor de la infinita divisibilidad como totalmente sofisticos; pues es evidente que, como ninguna idea de cantidad es infinitamente divisible, no puede imaginarse mayor absurdo que intentar probar que la cantidad misma admite una división tal y demos­trar esto por medio de las ideas que son totalmente opuestas en este particular. Y como este absurdo es patente en sí mismo, no existe ningún argumento que no está fundado sobre él que no vaya acompañado de un nuevo absurdo y que no envuelva una contradicción evidente.

Puedo dar como ejemplo de estos argumentos en favor de la divisibilidad infini­ta los que se derivan del punto de contacto. Sé que no existe matemático alguno que no rechace que se le juzgue por las figuras que traza sobre el papel, siendo éstas, como nos dice, esquemas sueltos y sirviendo sólo para sugerir con mayor facilidad ciertas ideas que son la verdadera fundamentación de nuestro razonamiento. Me satisfago con esto y quiero basarme, en la controversia, meramente sobre estas ideas. Pido, por consiguiente, a nuestro matemático que se forme tan exactamente como le sea posible las ideas de un círculo y de una línea recta, y después le preguntaré si al concebir su contacto puede imaginarlo como tocándose en un punto matemático, o si es necesario pensar que coinciden en algún espacio. Cualquiera que sea la res­puesta que elija va a dar a iguales dificultades. Si afirma que trazando estas figuras en su imaginación puede imaginar que se tocan en un punto único, concede la posi­bilidad de esta idea y, por consecuencia, de la cosa. Si dice que en su concepción del contacto de estas líneas debe hacerlas coincidir, reconoce por esto la falacia de las demostraciones geométricas cuando se llevan más allá de un cierto grado de peque­ñez, pues es cierto que él posee una demostración contra la coincidencia del círculo y la línea recta o, en otras palabras, que puede probar una idea, a saber, la de coinci­dencia, por la incompatibilidad con otras dos ideas, a saber, las del círculo y la línea recta, aunque al mismo tiempo reconoce que estas ideas son inseparables.

Sección V

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