Contenidos
I.- Los números en la vida.
II.- Geometría a nuestro alrededor.
III.- La estadística para conocer la sociedad y el papel del azar en nuestras vidas.
IV.- Detección y resolución de problemas.
V.- Rutas matemáticas por nuestro entorno.
I.- Los números en la vida.
Estamos rodeados de números en diferentes aspectos de nuestra vida. Hay tantos que quizá son demasiados, hasta puede que nos agobien. Pero, ¿son importantes?, ¿se puede prescindir de ellos?, ¿para qué sirven fuera de la escuela (puesto que en ella es obvio que sirven, al menos para aprobar muchas de las asignaturas)?
Para ser conscientes de cuántos números nos rodean, podemos hacer una primera ‘investigación’:
Durante un día no lectivo (por ejemplo, un sábado) ir apuntando todos los números con los que tengamos alguna relación.
Una vez que tengamos todos esos números, pasamos a ponerlos en común (eliminando los que aparecen en varias de las propuestas). ¿Para qué sirven esos números?, ¿son importantes?, ¿se podrían eliminar todos?, ¿se podría eliminar al menos alguno de ellos?
Clasificar todos los números que nos han aparecido de acuerdo con la función que desarrollan en nuestra vida.
Una manera de valorar la importancia de los números sería imaginar que han desaparecido.
Un día nos acostamos y al levantarnos al día siguiente los números han ‘desaparecido’. Intenta describir cómo sería tu vida en una sociedad sin números.
Informaciones.- La clasificación es una de las tareas fundamentales del conocimiento: en cuanto hay hecha una clasificación en un campo concreto tenemos mucho avanzado. Lo más complicado es encontrar el criterio que utilicemos para esa clasificación. En la enseñanza se utilizan muchas clasificaciones pero se dan a priori (o se dan por hechos) los criterios de clasificación, (casi) nunca es el alumnado quien propone esos criterios. Y lo que pasa en la escuela prefigura lo que sucederá después en la vida profesional. La clasificación que proponemos tiene en cuenta las funciones que desempeñan en la vida. Si al principio aparecen muchas funciones diferentes, poco a poco habrá que ir agrupándolas hasta tener solo unas pocas que engloban grandes bloques.
Ejemplo de clasificación, de gran simplicidad pero a la vez de gran riqueza, es la que propone J. T Fey17: ‘un análisis común del uso de los números indica que cualquier ejemplo se relaciona con una de las tres tareas básicas:
Medición. El uso de operaciones aritméticas para hacer razonamientos acerca del tamaño, a fin de responder a preguntas tales como ¿cuántos? o ¿cuánto?
Ordenamiento. El uso de números para indicar la posición dentro de una secuencia con las relaciones de ‘mayor que’ y ‘menor que’.
Codificación. La asignación de etiquetas de identificación a los objetos de una colección”.
Es decir, que las tres tareas fundamentales de los números son medir, ordenar y codificar. Otra clasificación, con más clases, es la que proponen Usiskin y Bell (recogida en el mismo artículo), con ejemplos de cada una de ellas:
Cuantificación de colecciones discretas (poblaciones)
Medición de cantidades continuas (tiempo, longitud, masa)
Comparación de cocientes (descuentos, probabilidades, escalas de mapas)
Localizaciones (temperatura, recta del tiempo, calificaciones de pruebas)
Códigos (carreteras, teléfonos, número de modelo de un producto)
Constantes obtenidas de fórmulas ( en A = r2).
Investigaciones posibles en este contenido
1.- Los números que llevamos puestos. Un recorrido indagatorio por nuestras medidas corporales (altura, peso, contorno en la cintura, longitud brazos, pies,...), así como las medidas de las prendas con las que nos vestimos o calzamos (pantalón, camisa, camiseta, jerséis, zapatos, zapatillas,...). Y también por los números que nos identifican (NIF, número de matrícula,...).
2.- Medidas normalizadas. Buena parte de los objetos que nos rodean tienen unas medidas prefijadas (electrodomésticos, puertas y ventanas, mesas y sillas,...) y tienen que responder a unas fórmulas bien precisas (buenas escaleras, metros cuadrados por alumno en las clases,...). Un estudio de todas esas normas que nos rodean.
3.- Medidas directas e indirectas. Tenemos un sistema métrico con una gran cantidad de unidades para muchas magnitudes y que se usa en casi todo el mundo. Pero hay otras unidades que no son del mismo sistema, porque son antiguas o de otras culturas (arrobas, onzas, pulgadas, barriles, yardas,...); asimismo, hay medidas que no podemos hacer utilizando los instrumentos habituales (muy pequeñas o muy grandes, inaccesibles,...). Saldremos a la búsqueda de la historia y del presente de las unidades y de los procedimientos de medida.
4.- Códigos. Los números han ido apareciendo a lo largo de la historia de la humanidad para cumplir funciones diferentes que tenían que resolver. La última aparición en el tiempo es la codificación. Nos ocuparemos de encontrar dónde hay códigos, para qué sirven, como se definen,... con una atención especial a los códigos detectores y correctores de errores.
5.- Algoritmos de cálculo. ¿En todos los países se utilizan los mismos algoritmos (procedimientos) para realizar las operaciones? ¿Y a lo largo del tiempo? Nos centramos en la multiplicación: encontrar otros procedimientos diferentes del habitual para realizar multiplicaciones. Explicar en cada uno (y también en el utilizado por nosotros) las razones por las que funcionan. Hacer una indagación del mismo tipo para la división. Se podría sugerir también investigar las raíces, el cálculo con tablas de logaritmos, reglas de cálculo… que, aunque ya no se usen, supusieron un avance en los procedimientos de cálculo.
6.- Los números en los medios de comunicación. En todos los medios de comunicación hay muchos números y cumplen funciones diferentes. Se puede ver con más facilidad en los periódicos: investigar los diferentes tipos de números que aparecen y el papel que juegan. En particular, cogiendo algún artículo en concreto (por ejemplo, la crónica de un partido de un deporte), ¿se podrían quitar todos o parte de los números?
II.- Geometría a nuestro alrededor.
El mundo que nos rodea tiene tres dimensiones aunque buena parte de sus representaciones son planas (TV, ordenadores, libros, fotografías,...), por lo que es conveniente entrenarnos para saber hacer el viaje de ida y vuelta.
En el resultado final de una foto intervienen tres factores: objeto, luz (que depende del tiempo) y punto de vista (lugar desde el que se hace). Sobre unas cuantas fotografías realiza las siguientes actividades:
1.- Intenta dar un modelo en tres dimensiones de la realidad que refleja una fotografía. ¿Sólo puede obtenerse de una forma?
2.- ¿Por qué crees que se tomó la foto desde ese lugar? Piensa sobre la elección del punto de vista: ¿cómo sería la foto desde otro sitio? Haz un pequeño esquema de cómo quedaría.
3.- Si eliges una foto tomada en el exterior, reflexiona sobre cómo sería en otro momento del día y haz un pequeño esquema de cómo quedaría.
Se trata de cortar un cubo por un plano y fijarnos en la figura que forma el corte: ¿Qué polígonos podremos obtener? Se puede hacer con cubos de corcho blanco y un cúter o con cubos de plástico transparente que no se pueden cortar, pero en los que la pregunta anterior es equivalente a colocar dentro del cubo una serie de polígonos tocando con sus lados y vértices a las caras del cubo.
1.- TRIÁNGULOS.- Piensa en los tipos de triángulos. ¿Cuál es el triángulo equilátero más grande que se puede obtener? ¿Cómo tendrías que colocarlo?
2.- CUADRILÁTEROS.- ¿Qué tipos de cuadriláteros podrás lograr? ¿Cuál es el rectángulo más grande? ¿Habrá alguna posibilidad de tener un rombo? ¿Qué otros tipos de cuadriláteros se pueden lograr?
3.- PENTÁGONOS.- ¿Hay alguna posibilidad de hacer un corte que sea pentagonal? Si tu respuesta es afirmativa, ¿podemos lograr que sea regular?
4.- HEXÁGONOS.- Piensa ahora en la forma de lograr un corte que sea hexagonal. Investiga también la manera de que sea regular.
5.- POLÍGONOS DE MÁS DE SEIS LADOS.- ¿Hay alguna forma de lograr un polígono de más de seis lados? Razona tu respuesta.
Aunque la mayoría de las formas de los objetos que nos rodean son previsibles (cilindros y ortoedros sobre todo), hay otras más sofisticadas y formas imaginativas de construirlas.
Observa en las estanterías de un supermercado (o en la nevera de tu casa), así como en las construcciones y el mobiliario urbano, para distinguir las formas de los objetos. ¿Hay alguna razón para que sea esa su forma y no otra diferente? ¿Podrías encontrar formas alternativas a las existentes, haciendo un catálogo de ventajas e inconvenientes (por ejemplo, de bloques de casas con forma cilíndrica)?
Investigaciones posibles en este contenido
1.- Algunas formas planas interesantes. Círculo, polígonos regulares, triángulo de Reuleaux, otros polígonos de Reuleaux,... Presencia en la vida cotidiana. Ventajas e inconvenientes. Objetos en los que intervienen.
2.- Llenar el plano. Superficies que llenan el plano. Mosaicos: recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas o ladrillos que han de cumplir dos condiciones: las piezas no pueden superponerse ni dejar huecos sin cubrir. Distintos tipos de mosaicos (regulares, semirregulares, periódicos, no periódicos,...). Otras situaciones similares: los esgrafiados, las rejas o persianas de cerramientos, los pavimentos de mármol, las celosías o las telas con un dibujo, así como todos los trabajos tradicionales de ganchillo, encajes de bolillos o los calados canarios.
3.- Curvas con usos interesantes. La cicloide, la catenaria, las cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola, parábola),... usos y propiedades. Generación de superficies de revolución (esfera, paraboloide,...).
4.- Trazado de perpendiculares en el plano y en el espacio. Tareas con cuerdas con nudos. Teorema de Pitágoras: aplicaciones. Ternas pitagóricas. Planos y mapas.
5.- Minimizar y maximizar. Problemas de distribución. Distancias mínimas entre puntos en diferentes condiciones. Envases industriales (tetrabrik antiguo y actual, latas de bebidas,...). Cuerpos que empaquetan y otros que no lo hacen.
6.- La geometría en una superficie esférica. Trayectorias en la superficie terrestre (aviones, barcos,...). Ubicación geográfica. Algunas nociones y problemas astronómicos.
7.- La geometría de los periódicos. Forma y dimensiones. Grandes números en las tiradas de los periódicos (extensión, peso, espesor,...). Presencia de curvas y polígonos. Logotipos: aspectos geométricos. Geometría con papel de periódico.
8.- La cinta de Möbius. Definición, propiedades, aplicaciones. Literatura y cine basada en ella.
III.- La estadística para conocer la sociedad y el papel del azar en nuestras vidas.
Es tópico decir que ‘hay mentiras, grandes mentiras y estadísticas’, para expresar que por medio de estadísticas se pueden hacer pasar por ciertas las mentiras más grandes. Otra crítica habitual es que no solo hay falta de rigor en las estadísticas que se presentan y en las conclusiones que se obtienen de ellas, sino que cada vez hay más. Tantas que nos rodean por todos los lados, llegando a suponer una avalancha de datos tal que nos abruma y nos impide diferenciar lo cierto de lo falso.
Haz una lista de los temas que se conocen socialmente por medio de estadísticas (o sondeos, o estudios de mercado u otros medios equivalentes). Consulta a familiares y conocidos, así como los medios de comunicación (periódicos, revistas, radio, TV, Internet,....). Procura precisar lo más posible tus resultados.
Nuestro país es ‘primera potencia mundial’ en juegos de azar: hay muchos y se juega ampliamente a la mayoría. Tienen características diferentes.
Haz una investigación para enterarte de los diferentes juegos de azar que hay en nuestro país (máquinas, casinos, bingos, loterías, autonómicos,...). Procura encontrar datos de los volúmenes económicos que suponen, así como de los posibles premios que se pueden obtener.
Investigaciones posibles en este apartado.
1.- Investigaciones sociales. Se trata de dar respuesta a preguntas que se hacen con frecuencia a nuestro alrededor del tipo de: “¿Cómo saben los programas de TV que veo si nunca nos lo han preguntado ni a mí ni a ningún conocido?”, “¿Cómo se afirma que los jóvenes tenemos unos determinados gustos o hábitos?”. Se puede hacer todo el proceso para llegar a tener información precisa sobre gustos, hábitos, creencias, actitudes..., del alumnado del centro (decisión sobre los temas que investigar, elaboración de un cuestionario, tabulación de las respuestas, presentación de resultados,...).
2.- Tamaño y métodos de lograr muestras adecuadas. ¿Importa solo el tamaño?, ¿cuándo podemos asegurar que los resultados de una encuesta son fiables?, ¿cómo obtener información ‘sensible’ o ‘comprometida’ de un colectivo sin poner en evidencia a quién responde? o ¿cómo lograr que se responda a preguntas ‘delicadas’ sin invadir la intimidad? (como podrían ser preguntas del tipo de las siguientes; ¿’distrae’ algunos productos en los supermercados?; ¿es usted homosexual?; ¿ha estado alguna vez en tratamiento psiquiátrico?; ¿ha fumado porros en el último mes?).
3.- La probabilidad y la esperanza matemática. Concepto y aplicaciones sociales: primas de seguros de todo tipo, diferentes tipos de sorteos o loterías. Contando todos los casos posibles en diferentes circunstancias (combinatoria). Probabilidad de las distintas loterías. ¿En qué juego de azar gano más (o pierdo menos)? En un sorteo concreto, ¿hay alguna manera de aumentar la probabilidad de ganar?
4.- Casos de probabilidad no evidente. ¿Qué hacer cuando no se tienen procedimientos para encontrarla? Las matemáticas en su vertiente experimental: repetición de un experimento un número ‘grande’ de veces para encontrar la frecuencia experimental. Ejemplo de casos en los que se dan situaciones de este tipo.
5.- Encuestas electorales. Las matemáticas de los procesos electorales. Proporcionalidad entre los votos y los escaños obtenidos. Reglas o fórmulas electorales (d’Hondt y otras). Encuestas electorales: ficha técnica de las mismas. Comparación de encuestas.
6.- Movilidad urbana. Los problemas de desplazamientos en las ciudades y en las zonas rurales. ¿En qué medio de transporte nos desplazamos? ¿Se podría mejorar la utilización de los diferentes medios?
Información para la investigación 4
Si no se encuentran otras, pueden utilizarse las situaciones siguientes:
Situación 1.- Distribución en urnas. Tenemos el mismo número de bolas blancas y negras (por ejemplo 10) y dos urnas iguales. Hay que distribuir esas bolas en las dos urnas (ninguna puede estar vacía) de forma que sea máxima (lo mayor posible) la probabilidad de sacar una bola blanca al escoger una urna y sacar de ella una bola. ¿Cuál será esa probabilidad? ¿Será en algún caso mayor de ½ (ó 50%)?
Situación 2.- El problema del cumpleaños. Hay diferentes formulaciones; una puede ser la siguiente: “En una reunión hay N personas que se han juntado de forma casual. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día (es decir, que hayan nacido el mismo día del mismo mes)?” O concretando más, “¿cuántas personas tiene que haber para que la probabilidad sea 1/2 (o del 50%)?”.
Situación 3.- Casarse en Machuria. En un territorio llamado Machuria, cuando una chica quería casarse pedía permiso. Iba junto con su prometido al palacio del caíd y este ponía en la mano cerrada de la chica seis trozos de una cuerda fina que sobresalían por los dos lados de su mano; su pretendiente tenía que ir uniéndolos de dos en dos por cada lado de la mano sin que la chica la abriera; una vez hechos los seis nudos la chica abría la mano: si la cuerda salía formando un anillo, podían casarse; si no, tenían que postergar la boda. Tenían una nueva oportunidad igual al año siguiente; si esta también era negativa no tenían derecho a casarse. ¿Crees que era muy difícil casarse en Machuria?
Situación 4.- Las tres fichas. Tenemos tres fichas en una caja opaca; una de ellas es de color blanco por las dos caras, otra tiene un aspa roja en una de las caras y es blanca por la otra cara y la tercera tiene un aspa en cada una de las dos caras. Saco una de las fichas sin mirar la otra cara, la pongo sobre la mesa y resulta ser blanca. Propongo la apuesta de adivinar cómo es la otra cara. ¿Por qué tipo de cara es más favorable apostar? ¿O es indiferente?
Situación 5.- Ganar al tenis. Pablo y Ana son amigos, hijos de familias amigas y jugadores aficionados de tenis. Quieren que les dejen ir a una excursión que sus padres no acaban de ver bien. Cuando lo piden a sus padres, también aficionados al tenis, deciden jugárselo a una serie de partidos de tenis: si ganan, podrán ir de excursión. Las madres de ambos se la explican de la siguiente manera: “Elegid entre vosotros dos el que quiere jugar contra nosotras dos. El que sea tiene que jugar tres partidos contra nosotras cambiando de adversaria en cada partido. Si ganáis dos partidos consecutivos, podéis ir de viaje”. De las dos madres, la de Ana es mejor jugadora que la de Pablo. ¿Contra cuál de las dos tendrá que jugar primero el mejor de los hijos para tener más probabilidad de ganar?
IV.- Detección y resolución de problemas.
Una de las utilidades que siempre se suele asignar a la presencia de las matemáticas en el sistema educativo es su contribución al aprendizaje de la resolución de problemas (RP).
¿Podrías distinguir de forma general entre problemas y ejercicios? Procura dar ejemplos de cada una de las situaciones. Propón problemas para que puedan resolverse en clase (en particular, algunos que conozcas y no sepas resolver).
Además de aprender a resolver problemas, en la época actual de la información es necesario dar un paso más y aprender también a detectar y modelar problemas, paso previo a poder resolverlos.
Buena parte de los portales de éxito en Internet nos resuelven ‘problemas’ que no sabíamos ni que teníamos. Reflexiona sobre los que tú conozcas y/o utilices y mira a ver si se da en ellos la situación que reflejábamos.
Información sobre RP, juegos y las estrategias más rentables
1.- RP y estrategias.
En el libro de Polya How to solve it (1945) (“Cómo plantear y resolver problemas”), está el 'Plan de Polya'. Para resolver un problema se necesita un plan con cuatro etapas:
I.- Comprender el problema
II.- Concebir un plan
III.- Ejecución del plan
IV.- Examinar la solución obtenida.
Las ‘estrategias’ de RP entran en la fase II.
En el Diccionario de matemáticas de Bouvier y George [Akal, 1984], 'estrategia' nos lleva a su sentido en los juegos: "Estrategia.- Estrategia de un jugador.- Descripción completa de la manera en que se debería comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible, en cada jugada. En un juego finito, si se conocen las estrategias de los jugadores, se puede saber el desarrollo y el resultado del juego". Habla también de "Estrategia ganadora.- En teoría de los juegos, se dice de una estrategia que lleva al jugador a un éxito hagan lo que hagan sus adversarios."
Vamos a ocuparnos de cuáles son las principales estrategias. M. de Guzmán, en su libro Para pensar mejor [Labor, 1991], pormenoriza las siguientes:
* Empieza por lo fácil.
* Experimenta.
* Hazte un esquema, una figura, un diagrama.
* Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
* Busca un problema semejante.
* Inducción.
* Supongamos el problema resuelto.
* Supongamos que no.
En un conocido manual norteamericano para profesores de matemáticas, Problem solving. A handbook for teachers, de Krulik y Rudnick [Allyn and Bacon, 1987], se citan las estrategias:
a. Reconocimiento de figuras.
b. Trabajar hacia atrás.
c. Ensayo y error.
d. Simulación y experimentación.
e. Reducción (resolver un problema más sencillo).
f. Listado organizado/listado exhaustivo.
g. Deducción lógica.
h. Divide y vencerás (resolver problemas parciales).
En el proyecto inglés del Shell Center for Mathematical Instruction [University of Nottingham, 1984], en el módulo de “Problemas con figuras y números”, se hace énfasis en una serie de estrategias específicas que pueden ayudar en esa resolución de problemas, e incluye las siguientes:
- Intentar algunos casos sencillos.
- Buscar un diagrama adecuado.
- Organizar sistemáticamente.
- Hacer una tabla.
- Observar pautas.
- Buscar una regla general.
- Explicar por qué funciona la regla.
- Comprobar con regularidad.
2.- Juegos.
No es fácil definir el concepto de ‘juego’, pero podemos caracterizar qué es un juego. R. Callois señala como características del juego el ser una actividad libre, separada (en un espacio y tiempo prefijado), incierta (no se conoce el resultado), improductiva y reglamentada. En el mismo orden descriptivo, Huizinga da una definición muy clarificadora para su utilización en la enseñanza: “Juego es una acción u ocupación voluntaria, que se desarrolla dentro de límites temporales y espaciales determinados, según reglas absolutamente obligatorias, aunque libremente aceptadas; acción que tiene un fin en sí misma y está acompañada de un sentimiento de tensión y alegría”, que vemos que en lo sustancial coincide con la de Callois. Por precisar más el sentido de su definición, cuando se tradujeron al inglés las obras de Huizinga, éste eligió para la palabra juego, entre las dos existentes en ese idioma, la de ‘play’ (conectada con el ‘fair-play’, el juego limpio, sometido a reglas) frente a la de ‘game’ (relacionada con el jugador por interés, el apostador profesional).
Entre todos los posibles juegos, nos ocupamos de los de estrategia. Para situar con precisión este tipo de juegos, "si de lo que se trata es de poner a punto procedimientos para ganar siempre o para no perder, estamos ante 'juegos de estrategia". [Corbalán-Deulofeu, “Juegos manipulativos en la enseñanza de las matemáticas”, en UNO, nº 7, enero 1996]. Precisando más los que son apropiados para su utilización en la enseñanza: "dentro de la amplia gama de juegos de estrategia, podemos distinguir concretamente los juegos bipersonales de información completa, es decir, sin intervención del azar. [...] Todos estos juegos tienen unas características comunes: las partidas se desarrollan entre dos personas y es posible, por lo menos en teoría, determinar una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores (o en algunos casos decidir que el juego acabará en tablas). Llamamos pequeños juegos de estrategia a aquellos cuyas condiciones (tablero, situación inicial, finalidad, reglas,...) hacen que las partidas sean, en general, de corta duración." [Corbalán-Deulofeu, 1996].
Por tanto, la característica que distingue a los juegos de estrategia es la búsqueda de una estrategia ganadora (EG), de un procedimiento seguro para ganar. Aunque normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos, esa misma situación se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el 'contrincante' a superar para conseguir el éxito, son las propias reglas del juego. Por eso también consideramos juegos de estrategia a los solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano, peleando contra un contrincante incorpóreo (pero no siempre más asequible): las reglas del juego. En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre. En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas, en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario, siguiendo unas reglas. En el segundo caso la tarea varía porque aparecen interacciones personales que pueden dar lugar a acciones de cooperación o de observación del comportamiento del adversario que favorezcan la obtención de las estrategias.
Nos centramos en juegos en los que se pueda encontrar la EG utilizando algunas de las más importantes estrategias de RP, de las comunes a los tratadistas más destacados, como ‘empezar por el final’ (que engloba suponer el problema resuelto), ‘estudio sistemático de todos los casos’ (uno de los métodos típicos de la probabilidad) y ‘utilización de la simetría’ (una de la más utilizadas cuando se realiza un pensamiento geométrico). Los juegos que se pueden proponer, además de interesantes por sí mismos, pertenecen a las grandes familias de juegos de uso en el mundo.
Investigaciones posibles en este apartado
1.- Encontrar la estrategia ganadora en juegos de estrategia. Hacerlo después de haber jugado un tiempo con ellos e ir cambiando las reglas para generalizar las estrategias.
2.- Explicar por qué funcionan algunos trucos de magia. Buena parte de los trucos de magia en los que se adivinan números o situaciones están basados en sencillas (o complicadas) razones numéricas: se trataría de encontrarlos. Y a ser posible, a partir de ellos, generar otros trucos sencillos.
3.- Intentar resolver algunos problemas interesantes, aplicando las estrategias de RP. Proponer para este caso un listado de problemas, que podría ser ampliado por los propuestos por el alumnado.
4.- Puzzles en el plano y en el espacio. Caso particular del Cubo Soma.
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