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GUÍA DE APRENDIZAJE NO 10

1. IDENTIFICACIÓN


Programa académico

Psicología e Ingeniería Ambiental

Actividad académica o curso

Matemáticas básicas


Semestre

Segundo de 2012

Actividad de aprendizaje

Funciones

Orientador del proceso de aprendizaje

Mg. Oscar Ferney Pérez Holguín

Resultados de aprendizaje

El estudiante lograra manejar el concepto de función




2 Introducción y descripción de actividades

FUNCIONES

En la práctica es muy frecuente que el valor de una cantidad depende de otra. Por citar algunos ejemplos, el salario de una persona puede depender del número de horas del trabajo; la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde su salida de un punto dado. La relación entre cantidades suele expresarse por medio de una función. Una función puede considerarse como la correspondencia entre un conjunto X de números reales x, y otro conjunto Y de números reales y, donde el número real y es único para un valor dado de x.


La figura 1 presenta una visualización de esta correspondencia, en la que los conjuntos X y Y consisten en puntos de una región plana.
Enunciado el concepto de función de otro modo, intuitivamente consideramos un número real y del conjunto Y como una función del número real x del conjunto X, cuando existe alguna regla por medio de la cual pude asignársele a y un valor único para un valor de x. Esta regla suele expresarse mediante una ecuación. Por ejemplo, la ecuación


Define una función para la que X es el conjunto de todos los números reales y Y es el conjunto de todos los números no negativos. La tabla 1 muestra el valor de Y asignado de valores específicos de X de la figura 2 visualiza las correspondencia de los números de la tabla.



Para denotar una función se usan símbolos como f, g y h. El conjunto X de números reales descritos es el dominio de la función y el conjunto Y de números reales asignados a los valores de x en X, es el contra dominio de la función.
EJEMPLO No 1

La ecuación . Define una función llamémosla función f. la ecuación expresa la regla por medio de la cual puede obtenerse un valor único de y al conocer x; esto es, multiplicar el número por sí mismo. Después multiplicar el producto obtenido por 2 y sumarle 5. El dominio de f es el conjunto de números reales y puede designarse con la notación de intervalos (. El valor mas pequeño que se puede asumir y es 5 (cuando x = 0).El contra dominio de f es entonces el conjunto de todos los números positivos mayores que o igual a 5, que es [5,+).

Se considera que una función es un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, la función definida por la ecuación consiste en todos los pares ordenados (x,y) que satisfagan la ecuación . Los pares ordenados de esta función que se muestran en la tabla 1 son (1,1), .
Ejemplo No 2

La función ; es el conjunto de los pares ordenados (x,y) para los que, }. Algunos de los pares ordenados de g son
Por tanto, podemos expresar ya la definición formal de una función. Al definir una función como un conjunto de pares ordenados en vez de una regla de correspondencia.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función, entonces, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en Para los que (x,y) es un para ordenado de f.
Recuérdese que para tener una función, debe haber un valor único de la variable dependiente (y) que corresponda a un valor de la variable independiente (x) en el dominio de la función. Esto lleva a la siguiente conclusión geométrica: la gráfica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto.
Ejemplo No 3

Sea en la figura3 se muestra la gráfica de f. Obsérvese que una recta vertical con una ecuación x=k, donde k 5, solo corta a la gráfica en un punto. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales menores que o iguales a 5, que es el intervalo (-), y el contra dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos, que es [0,+).


Para dibujar el grafico anterior se establecen los pares ordenados pertenecientes a la función , tal como se hizo en la tabla1.
Ejemplo No 4

La función valor absoluto h se define como .Trazar la gráfica de h y determinar el dominio y el contra dominio.


figura 4
Solución. la figura4 muestra la gráfica requerida. De acuerdo con la definición de h, x puede ser cualquier número real. Por consiguiente, el dominio (-,+). Puesto que en la figura 4 se aprecia que y puede ser cualquier número no negativo, el contra dominio es [0,+).

Ejemplo No 5

Considere el conjunto

La grafica de este conjunto, que se muestra en la figura 5, es la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5. Este conjunto de paredes ordenadas no es una función, pues para cualquier x en el intervalo (-5,5), hay dos pares ordenados que tiene la misma x como primer número. Por ejemplo, tanto (3,4) como (3,-4) son pares ordenados del conjunto. Además, obsérvese en la figura 5 que la recta vertical con la ecuación x=k donde -5< k <5, corta ala grafica en dos puntos.


Ejemplo No 6

Sea G la función de todos los pares ordenados (x,y) de manera que . Determinar el dominio y el ámbito (o contra dominio) de G y trazar su gráfica.

Solución, puesto que todo valor de x, excepto 3, determina un valor de y, el dominio de g consiste en todos los números reales excepto 3. Cuando x=3, tanto el numerador como el denominador son cero y no está definido.
Factorizando el numerador a se obtiene
O bien , siempre y cuando en otras palabras, la función G consiste en todos los pares ordenados (x,y) tales que


Deacuerdo con esta definición de G es evidente que la grafica contiene todos los puntos de la recta excepto (3,6), en la figura6 se muestra la gráfica. El contra dominio o ámbito de G es el conjunto de todos los números reales salvo 6.


figura6

Ejemplo No 6

Sea h la función que es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que



Determinar el dominio y el contra dominio de h y traza su gráfica.
SOLUCION la parte de la gráfica de h para es una porción de la recta , para entonces . Que es la gráfica de una circunferencia con centro en el origen y radio 3. Despejando y en la ecuación se obtiene .
Por tanto, la parte de la gráfica para es una porción de la recta . Para , por tanto, es la mitad superior de la circunferencia. La parte del a grafica para es una porción de la recta en la figura 7 se muestra la gráfica, el dominio de h es y de acuerdo con la figura 7, el contra dominio es .


figura7

Ejercicio No 1

En los ejercicios 1 a 20, trazar la gráfica de la función y determinar el dominio y el contra dominio



  1. f={(x,y)l y=3x-1}

  2. g={(x,y)l y=4-x}

  3. F={(x,y)l y=2}

  4. G={(x,y)l y=+2}

  5. g={(x,y)l y=5-}

  6. f={(x,y)l y=x-1)}

  7. G={(x,y)l y=}

  8. F={(x,y)l y=9-X}

  9. f={(x,y)l y=}

  10. g={(x,y)l y= 4-}

  11. g={(x,y)l y=}

  12. f={(x,y)l y=}

  13. H={(x,y)l }

  14. {(x,y)l y=l5-xl}

  15. H=={(x,y)l }

  16. G={(x,y)l }

  17. H={(x,y)l }

  18. f={(x,y)l }

  19. f={(x,y)l }

  20. g={(x,y)l }

  21. f={(x,y) l }







NOTACIÓN DE FUNCIONES, OPERACIONES Y TIPOS DE FUNCIONES

Si es la función en la que la variable representa a los elementos de su dominio y la variable representa a los elementos del contra dominio, el símbolo , denominado el valor de la función (que se lee “”), denota el valor particular de que correponde al valor de .
Ejemplo No 7. Se tiene , por lo que .

Debido a que, cuando , tenemos que . Además, , , etc.
Ejemplo No 8

Sea la función definida por



Evalué lo siguiente:

a) b) c) d) e) f) +
Solución

a) ; b) ; c) ;

d)

e)

f) =
Operaciones entre funciones: Suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones
Sean dos funciones y

1) Su suma denotada por es la función definida por

2) Su diferencia denotada por es la función definida por

3) Su producto denotado por es la función definida por

4) Su cociente denotado por es la función definida por

Ejemplo No 9. Sean y las funciones definidas por



Evaluar lo siguiente:
Solución:

a) ; b) ; c)
d)
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