Estrategia Metodológica: Conferencia dictada por el facilitador






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fecha de publicación03.07.2015
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Especialización en Telecomunicaciones Digitales Cohorte Nº 4

Curso de Nivelación




REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica


Especialización en

Telecomunicaciones Digitales

CURSO DE NIVELACIÓN

TEMA I

SERIES DE FOURIER
Estrategia Metodológica: Conferencia dictada por el facilitador

Procedimiento: Exposición de cada tópico del sumario.

SUMARIO

Señales periódicas.

Funciones pares e impares.

Análisis de simetría.

Series de Fourier.

Condiciones de Dirichlet.

Serie trigonométrica de Fourier.

Serie exponencial de Fourier.

Espectro de frecuencia discreta

Espectros de una cara.

Espectros de doble cara.

Teorema de Parseval.

Error cuadrático medio.

Introducción.
En este tema se estudia una forma diferente de especificar una señal, la llamada descripción en el dominio de la frecuencia.

Cuando una señal se describe como una función del tiempo, tal como cos(wot +), ésta es una descripción en el dominio del tiempo de esa señal. Como veremos, cualquier señal se puede expresar como una suma de senoides de diferentes frecuencias. Por lo tanto, cada una de estas señales tiene un espectro de frecuencia representado por amplitudes y fases de varias componentes de frecuencia y se especifica completamente por su espectro.

De lo anterior, se desprende que una señal se puede describir como una función del tiempo (descripción en el dominio del tiempo) o mediante su espectro de frecuencia (descripción en el dominio de la frecuencia).

2.1.- Análisis de señales periódicas.
2.1.1.- Señales periódicas.

Una función periódica se puede definir como una función para la cual
f ( t ) = f ( t + T ) (Ecuación 1)
para todo valor de t.

La constante mínima T que satisface la ecuación #1 se llama período de la función.

En forma general la ecuación #1 se puede escribir como
f ( t ) = f ( t + n T ) (Ecuación 2)
donde n = 0, 1, 2, 3...

En la figura #1 se muestra una función periódica de período “T”.
Ejemplo de señales periódicas lo constituyen las señales sinusoidales.

Considere que una señal esta dada por:

Si r(t) es periódica con período T, es posible encontrar dos enteros m y n tal que:
(Ecuación 3)
(Ecuación 4)
El cociente entre las ecuaciones # 3 y # 4 es:


Figura #1

Representación de una función periódica
Entonces para que la función r(t) sea periódica de período T, la relación

w1 / w2 = m / n debe ser un número racional.
Ejemplo: Encontrar el período de la función f(t) = cos(t/3) + cos(t/4).
Solución.

Si f(t) es periódica con período T entonces se debe cumplir que:

Pero dado la periodicidad del coseno se tiene que


si m es entero.

Si se comparan miembro a miembro con la ecuación de f(t), tenemos


con m y n enteros.

Despejando T en ambas ecuaciones e igualando se tiene:


o


entonces


Donde se concluye que m = 4 y n = 3.

De los valores de m y n se puede calcular T obteniéndose T = 24. el cual es el mínimo valor de T para la función periódica.

2.1.2.- Funciones pares e impares.
La simetría que una forma de onda tiene respecto al eje “y” o al origen, se puede determinar en forma analítica cambiando en la ecuación de la forma de onda la variable “ t ” por “ - t ” y en dependencia del resultado podemos determinar si la función es simétrica respecto al eje “y” o si no lo es.

A continuación se dan los procedimientos necesarios.
2.1.2.a) Funciones pares.

Se dice que una función es par si satisface la condición de que
(Ecuación 5)
De la ecuación # 5 se concluye que una función par es simétrica respecto al eje vertical en el origen.

La figura # 2 muestra la gráfica de una función par. Observe que la misma es simétrica respecto a el eje vertical en el origen.
2.1.2.b) Funciones impares.

Se dice que una función es impar si satisface la condición de que
(Ecuación 6)
De la ecuación # 6 se concluye que una función impar es antisimétrica respecto al eje vertical en el origen.
Figura #2

Ejemplo de una función par
La figura # 3 muestra la gráfica de una función impar. Observe que la misma es simétrica respecto al origen.
2.1.2.c) Propiedades de las funciones pares e impares.

Las funciones pares e impares cumplen con varias propiedades que serán descritas a continuación.

Figura #3

Ejemplo de una función impar
a) El producto de una función par por otra función par, da como resultado una función par.
Demostración.

Sean f1 ( t ) y f2 ( t ) dos funciones pares y f 1 ( t )* f 2 ( t ) = f( t ), entonces
f ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = f( t )
b) El producto de una función impar por otra función impar, da como resultado una función par.
Demostración.

Sean f1 ( t ) y f2 ( t ) dos funciones impares y f 1 ( -t ) * f 2 ( -t ) = f(-t), entonces
f ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = - f 1 ( t ) * [ - f 2 ( t )] = f( t )
c) El producto de una función par por otra función impar, da como resultado una función impar.
Demostración.

Sean f1 ( t ) es par y f2 ( t ) es impar y f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = f ( t ), entonces
f ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = f 1 ( t ) * [ - f 2 ( t )]
= - f1 ( t ) * f 2 ( t ) = - f ( t )
2.1.3.- Simetría de media onda.

Si una función es periódica con período T, entonces se dice que la función periódica f(t) tiene simetría de media onda si satisface la condición
(Ecuación 7)
Analizando la ecuación #7 se puede observar que ella establece que si la función se desplaza medio período hacia la izquierda o hacia la derecha la función tendrá el mismo valor, pero de signo negativo. Esto es, la porción negativa de la onda, es el reflejo de la porción negativa desplazada horizontalmente medio período.

En la figura # 4 se muestra una función que tiene simetría de media de onda.

2.1.4.- Simetría de cuarto de onda.

Si una función periódica f(t) tiene simetría de media onda y además es una función par o impar, entonces se dice que f(t) tiene simetría de cuarto de onda par o impar respectivamente.

En la figura # 5-a se muestra una función que tiene simetría de cuarto de onda par y en la figura # 5-b una que tiene simetría de cuarto de onda impar.

Figura #4

Función con simetría de media onda

Figura #5

Funciones con simetría de cuarto onda par e impar.

2.2.- Funciones ortogonales
Un conjunto de funciones k(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera m(t) y n(t) pertenecientes al conjunto k(t), se cumple:
(Ecuación 8)
Un ejemplo de funciones ortogonales lo constituye las funciones senusoidales. A continuación se muestra un ejemplo explícitamente.

Sea la integral

(Ecuación 9)
a la cual se desea hallar solución.

Según el cálculo elemental, la integral anterior se puede resolver y obtener el resultado siguiente:
(Ecuación 10)
Según este resultado se puede establecer que el resultado es cero si las dos funciones son diferentes y es igual a T/2 si son iguales y diferentes de cero.

2.3.- Series de Fourier
A continuación abordaremos un procedimiento matemático que aporta una manera diferente de expresar una función f(t). Además este procedimiento permite realizar análisis de formas de ondas, ya no en el dominio del tiempo, sino en el dominio de la frecuencia, esto es, la nueva variable a utilizar es “w” conocida como la frecuencia angular.

2.3.1.- Serie trigonométrica de Fourier.
Sea la función f(t) una función periódica de período T, la cual puede ser representada por la serie trigonométrica

(Ecuación 11)
La ecuación 11 puede ser reescrita utilizando el símbolo de sumatoria como sigue
(Ecuación 12)
siendo w0 = 2.. f = 2.. / T.

La serie de la ecuación # 12 se denomina serie trigonométrica de Fourier.

El termino a0, independiente de la frecuencia, representa el valor medio de f(t) en el tiempo.

Los valores de a0, an y bn se determinan por las ecuaciones siguientes:

(Ecuación 13)
(Ecuación 14)
(Ecuación 15)
Se debe aclarar que no es necesario que el intervalo de integración sea simétrico respecto del origen. El único requisito es que la integral se tome sobre un período completo.

2.3.2.- Serie compacta de Fourier.
La serie de la ecuación 12, puede ser representada también en la forma siguiente:

(Ecuación 16)

donde
(Ecuación 16a)
La componente senusoidal de frecuencia wn = nw0 se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental, porque tiene el mismo período de la función y w0=2/T se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
Demostración:

Considérese la serie de la ecuación


operando en el segundo miembro:
(Ec. 17)
Si usamos variables auxiliares tenemos
, , ,
Sustituyendo en la ecuación 17 tenemos:
(Ecuación 18)
Considerando la identidad trigonométrica

aplicada a la ecuación 18 tenemos
(Ecuación 19)
donde se ha considerado


2.3.4.- Serie de Fourier en forma compleja.
En la sección 2.3.1 se analizó la serie trigonométrica de Fourier, representada en la ecuación 12. Otra manera de expresar la serie de Fourier es a través del uso de las exponenciales complejas .

Consideremos las expresiones siguientes para las funciones seno y coseno:


Sustituyendo estas ecuaciones en las expresión 12 tenemos:

Simplificando se obtiene la ecuación 20:
(Ecuación 20)
Si se realizan cambios de variables y tomamos:

podemos reescribir la ecuación 20 como:



(Ecuación 21)
la ecuación 21 representa la serie exponencial de Fourier.

Los valores de las nuevas variables se pueden determinar de la manera siguiente:
(Ecuación 22)

(Ecuación 23)

(Ecuación 24)
Si se considera la teoría de los números complejos, se pueden establecer las siguientes igualdades:
(Ecuación 25)

(Ecuación 26)
(Ecuación 27)
(Ecuación 28)
Con la ecuación 27 se pueden obtener los valores de amplitud de la función para cualquiera sea el valor de “n”, obsérvese que se trata de una magnitud.

Por otro lado utilizando la ecuación 28, se puede obtener la fase respectiva para cada valor de “n”. Entonces, para cada valor de amplitud determinado le corresponde un valor de fase.

De acuerdo a esto, se puede realizar una gráfica de amplitud vs la variable “n” la cual se conoce con el nombre de espectro de amplitud ( representa la amplitud de cada uno de los valores de frecuencia en función de “n”) y si se gráfica la fase vs la variable “n” se obtiene el espectro de fase de la función.

El resultado en la ecuación 21, muestra que la señal periódica f(t) puede también ser representada matemáticamente por una serie infinita de componentes, de frecuencias positivas y negativas. Las frecuencias negativas tienen un significado matemático y , a veces, pueden tener también sentido físico, puesto que una frecuencia negativa puede ser asociada a una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que una frecuencia positiva puede asociarse a una rotación en sentido contrario.

2.4.- Condiciones de Dirichlet.
Hasta ahora se ha determinado la serie de Fourier de una función genérica f(t). A continuación se analiza la convergencia de la serie de Fourier a f(t).

Este análisis se realiza por medio de lo que se conoce como condiciones de Dirichlet.

Las condiciones de Dirichlet son las siguientes:
a) La función f(t) tiene un número finito de discontinuidades en un período.

b) La función f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un período.

c) La integral del valor absoluto de f(t) en un período es finita; es decir,
(Ecuación 29)
Si una función cumple con las condiciones a) y b) se dice que es continua por tramos.
2.5.- Series de Fourier para señales simétricas.
En esta sección se hará uso de la simetría que presentan las funciones para simplificar los cálculos de los coeficientes de la serie de Fourier.
2.5.a.- Series de Fourier para función periódica par.

Si f(t) es una función periódica par con período T, la serie de Fourier consta de una constante y de términos del coseno solamente, esto es:
(Ecuación 30)
donde

(Ecuación 31)
2.5.b.- Series de Fourier para función periódica impar.

Si f(t) es una función periódica impar con período T, la serie de Fourier consta de términos del seno solamente, esto es:
(Ecuación 32)
donde
(Ecuación 33)
2.5.c.- Series de Fourier para función periódica con simetría de media onda.

Si f(t) es una función periódica con período T que tiene simetría de media onda, la serie de Fourier consta de armónicas impares solamente, esto es:
(Ecuación 34)


2.5.d.- Series de Fourier para función periódica con simetría de cuarto de onda par.

Si f(t) es una función periódica con período T que tiene simetría de cuarto de onda par, la serie de Fourier consta solamente de armónicas impares de términos del coseno, esto es:
(Ecuación 35)
donde

(Ecuación 36)

2.6.- Espectros de frecuencia discreta.
La serie de Fourier representa un número infinito de componentes frecuenciales que, sumados, dan la función del tiempo f(t). Estos componentes frecuenciales constituyen un espectro discreto. Las amplitudes de cada una de las frecuencias discretas vienen dadas por los coeficientes de an y bn. Todos los componentes frecuenciales son armónicos de la frecuencia fundamental, 1/T, y la gama total de frecuencias es el ancho de banda de la señal.

Aunque el espectro de frecuencia puede consistir en un número infinito de frecuencia discretas, sus amplitudes se van haciendo cada vez menores a medida que crece “n” y, en la práctica, basta considerar, como adecuado para las comunicaciones, sólo un número finito de frecuencias.

El sentido de esto descansa en la necesidad de economizar anchura de banda en los sistemas de comunicación. El conocimiento del espectro de frecuencias ayudará a conseguir la transmisión y la recepción de la señal de manera mas efectiva y económica posible.

En el aparte correspondiente a serie de Fourier en forma compacta, se obtuvieron las ecuaciones 16 y 16-a, las cuales constituyen el espectro de frecuencia de una sola cara. El nombre radica en el hecho que los espectros de amplitud y de fase, sólo tendrán valores definidos para valores de “n” positivos, dando como resultado que la gráfica obtenida sólo exista para el lado derecho del eje vertical. En la figura # 6 se muestran los espectros de amplitud y fase de un sola cara de una función f(t) genérica.



Figura # 6

Espectros de una sola cara.

a) espectro de amplitud y b) espectro de fase.

Para la representación de la serie de Fourier en forma compleja, se obtuvieron las ecuaciones 27 y 28, las cuales permiten también graficar los espectros de amplitud y fase de la función f(t), sólo que en este caso, la variable “n” puede tomar tanto valores positivos como negativos, con lo cual la gráfica del espectro de amplitud y fase se conoce con el nombre de espectro de frecuencia de dos caras.



Figura # 6

Espectros de doble cara.

a) espectro de amplitud y b) espectro de fase.
En la figura # 7 se muestran los espectros de amplitud y fase de doble cara de una función f(t) genérica.

Ambas gráficas tienen la característica de ser discretas, por estar definidas en términos de la variable entera “n”.
2.7.- Teorema de Parseval.
Sean a0, an y bn los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier de una función periódica f(t) con período T, entonces se establece que:
(Ecuación 37)
La integral es la energía normalizada asociada a la función
f(t) en el intervalo -T/2 < t < T/2.

El contenido de potencia de una función periódica f(t) en el período T está definido como el valor cuadrático medio
(Ecuación 38)
Si se supone que la función f(t) es una onda de voltaje o corriente, entonces esta integral representa la potencia promedio entregada por f(t) a una resistencia de 1 Ohm.
2.8.- Error cuadrático medio.
Se sabe que:


Si en vez de tomar ““ términos se toman sólo (2k+1) se tiene entonces la serie Sk(t) la cual se puede escribir como:
(Ecuación 39)

para f(t) en el intervalo -T/2 < t < T/2.

Si ahora f(t) se aproxima por medio de Sk(t) se tiene que:
(Ecuación 40)
donde k(t) representa la diferencia o error existente entre la función original f(t) y la aproximación Sk(t).

Despejando k(t) de la ecuación 40 tenemos:

o lo que es lo mismo:
(Ecuación 41)
El error cuadrático medio, definido como Ek se puede determinar utilizando la ecuación 41 como:
(Ecuación 42)


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