Y su tema central es lo que los escolares de nuestros días conocen como "regla de tres". Pacioli se inspiraba en las ideas de Piero della Francesca, un hombre que hoy conocemos a través de su obra pictórica, pero que en su tiempo era más conocido por ser el autor de






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rabajo de la sección Áurea

A lo largo del tiempo todos los artistas han buscado una forma de división de las cosas perfectas pero no había nada que indicase en que proporción debían estar las cosas(seres vivos, objetos...).Ahora sabemos que existe una fórmula muy conocida en el mundo del diseño, que permite dividir el espacio en partes iguales, para lograr un efecto estético agradable y que puede llegar a ser muy eficaz. Esta teoría se denomina "La regla Áurea", también conocida como "divina proporción" o “numero áureo”

En 1497, un fraile italiano llamado Lucca Pacioli escribió un libro donde se reveló, por fin, el secreto de la belleza. Se titula De divina Proportione, y su tema central es lo que los escolares de nuestros días conocen como "regla de tres". Pacioli se inspiraba en las ideas de Piero della Francesca, un hombre que hoy conocemos a través de su obra pictórica, pero que en su tiempo era más conocido por ser el autor de De Abaco, un manual de matemática para comerciantes.

La regla de tres era una herramienta básica para los comerciantes del Quattrocento: servía para determinar las proporciones de capital, tierras, volumen de grano o cualquier otra clase de bienes que le correspondía a cada socio, heredero o copropietario ante un total determinado. Se la conocía entonces como regla de oro o llave del comerciante.

Una regla de tres famosa es la llamada Escala Armónica Pitagórica, que al modo renacentista se expresa: 6 8 9 12

Algunos arquitectos relacionaron la escala armónica pitagórica, utilizada para representar una escala musical, con el diseño visual modular o proporcional. Andrea Palladio dejó asentada una falacia de diseño según la cual los espacios pueden ser diseñados "musicalmente" de acuerdo con esta escala: como el intervalo entre 6 y 12 es de una octava, entre 6 y 9 y entre 8 y 12 es de una quinta, entre 6 y 8 y entre 9 y 12 de cuarta y entre 8 y 9 de un tono, si se organizaban las dimensiones de las habitaciones de un edificio siguiendo esta serie, entonces se estaría produciendo una armonía espacial de la misma clase que la que relaciona las notas musicales. La regla Áurea parecía una fórmula perfecta que relacionaba las artes de la música, la pintura y la arquitectura. Y además mantenía las buenas relaciones comerciales.

Cuando Lucca Pacioli escribió La Divina Proporción, lo que hizo fue tomar otro tipo de regla de tres, que, partiendo de una unidad arbitraria permitía la construcción de proporcionalidades tanto de múltiplos como de submúltiplos (intervalos mayores y menores). Los aficionados (en particular los fotógrafos, grandes entusiastas) conocen esta relación como sección áurea. Su expresión matemática es

a:b=b:a+b

Vitruvio ideó un sistema de cálculo matemático de la división pictórica, para seccionar los espacios en partes iguales y así conseguir una mejor composición. Se basa en el principio general de contemplar un espacio rectangular dividido, a grandes rasgos, en terceras partes, tanto vertical como horizontalmente. O, explicado de otra forma, bisecando un cuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar las dimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectángulo áureo". Se llega a la proporción a:b = c:a. Al situar los elementos primordiales de diseño en una de estas líneas, se cobra conciencia del equilibrio creado entre estos elementos y el resto del diseño.

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

sección áurea

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ 5 por lo que la proporción entre los dos lados es:

(1+ 5 ) /2

sección áurea

A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.

sección áurea

En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.

sección áurea




Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande.

sección áurea

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Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.). Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta., a partir del hombre, utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que media lo mismo de alto que de ancho con los brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura y esta misma ,se lograba de manera exacta, rebatiendo sobre las bases de un cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones.

Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. En España, en la Alambra, en edificios renacentistas como El Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.

sección áurea




sección áurea

Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.

El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas.

También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

La sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240).

Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1'61803...).

Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci.

sección áurea




sección áurea

Esta sucesión también aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la divergencia foliar, en la formación de la concha de algunos moluscos...

sección áurea

Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.

En la construcción anterior, se empieza con un cuadrado de 1 unidad de lado (el nº 1), se añade uno igual para formar un rectángulo de 2 x 1, a continuación añadimos un cuadrado de 2 x 2 (el nº 3) para formar un rectángulo de 3 x 2; después un cuadrado de 3 x 3 (el nº 4), de manera que el siguiente rectángulo es 5 x 3, el siguiente cuadrado es 5 x 5 (el nº 5), y así sucesivamente.

Los rectngulos ureos son aquellos cuyos lados est�n en proporci�n �urea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es 1,618... Este tipo de rect�ngulo, como veremos m�s abajo, lo us� Fidias en la fachada del Parten�n,  pero tambi�n podemos verlo hoy en las cajetillas de tabaco, el DNI, las tarjetas de cr�dito, etc.

 

La secci�n �urea tiene un curioso parecido con la  sucesin de Fibonacci, llamada as� por haber sido descubierta por el matem�tico medieval pisano Leonardo Fibonacci (1170-1240). La sucesi�n de Fibonacci es una sucesi�n de n�meros en la que cada t�rmino es igual a la suma de los dos t�rminos precedentes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y as� sucesivamente. Resulta que el l�mite cuando n tiende a infinito del cociente n-1/n es igual a  0,6180339. http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/fibonacci-pisa-small.jpg

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/limfib0618.gif
(Carl Boyer: Historia de las matemticas, p. 329)

Y el l�mite cuando n tiende a infinito de n/n-1 es 

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/lim1618.gif

La sucesi�n de Fibonacci es la pauta que siguen determinados fen�menos de la naturaleza. Puede aprovecharse para explicar el crecimiento de las hojas a lo largo del tallo de una planta o el n�mero de p�talos de algunas flores: por ejemplo, el lirio tiene tres y las margaritas o girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55, o bien 89.

Adem�s,  la sucesi�n de Fibonacci permite construir la espiral de Durero, que es una forma geom�trica omnipresente en la naturaleza. Alberto Durero no fue un matem�tico, sino un artista alem�n del Renacimiento, especialmente conocido por sus grabados. La espiral de Durero es �til para investigar las conchas de algunos moluscos, los cuernos de algunos animales, las hileras de pi�ones en la pi�a, las semillas de una flor de girasol... Tiene como caracter�stica principal el que los puntos sobre los que se traza se corresponden con rect�ngulos cuyos lados son dos n�meros de la sucesi�n de Fibonacci.

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/espiral2.gif
Espiral de Durero (www.epsilones.com)

Obs�rvese por ejemplo la espiral de Durero en el nautilus o en la forma de una pi�a con pi�ones.

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/nautilus-concha.jpg
Nautilus, descendiente actual del ammonites (perteneciente al Jur�sico y Cret�cico) www.epsilones.com

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Pi�a. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648-02/ed99-0648-02.html

Tambi�n se halla presente la secci�n �urea en una figura de resonancias m�ticas y religiosas como es el pentgono estrellado. Si se observa la siguiente figura es evidente que las diagonales del pent�gono que dan lugar a la estrella se cortan en la secci�n �urea. El pent�gono, asimismo, es la base para construir el cuerpo s�lido perfecto, el dodecaedro. Platn en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que est� hecha el elemento perfecto, el ter, y simboliza adem�s la perfecci�n del Universo.

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/dodecaedro.gif
Dodecaedro. (G. Reale: Por una nueva interpretacin de Platn, p. 681)

Veamos ahora algunas aplicaciones de las proporciones inconmensurables, en especial de la secci�n �urea, en el arte griego. Contemplar estas magn�ficas esculturas y darse cuenta de la geometr�a impl�cita que las regula nos permitir� comprender intuitivamente la idea de que para los griegos el eidos, la Idea, la Forma, no es la realidad �ltima, puesto que deriva precisamente de los n�meros y las proporciones entre ellos.

Existen relaciones basadas en la secci�n �urea en algunas de las m�s c�lebres estatuas griegas como el Hermes de Praxteles (390-330 a. C.).

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/hermessmall.jpg 
       Hermes con Dioniso ni�o. (G. Reale: Por una nueva interpretacin de Platn, p. 304)

Tambi�n la Venus de Milo respeta la secci�n �urea aunque la aplica un poco m�s libremente:

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Venus de Milo. Museo del Louvre, Par�s. (G. Reale: Por una nueva interpretacin de Platn, p. 303)

El homo quadratus y rotundus, es decir, inserto en un cuadrado y un c�rculo, tal y como aparece en el famoso dibujo de Leonardo da Vinci, marca el canon o medida de la perfecci�n humana. En  este caso Leonardo se limita a resucitar la visi�n de la figura humana que exist�a ya en la antigua Grecia.

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/homo_quadratus_leonardo.jpg
Homo quadratus de Leonardo.

La secci�n �urea se aplica al homo quadratus del siguiente modo: "Considerando la figura humana inscrita en el cuadrado, el ombligo corresponde a la secci�n �urea del lado y es el centro del c�rculo circunscrito al "homo rotundus". Subdividiendo OM y ON en secci�n �urea, y haciendo luego lo mismo con los segmentos resultantes, se obtienen los puntos correspondientes a las rodillas, ingle, hombros y ojos." (G. Reale: Por una nueva interpretacin de Platn, p. 312)

http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia/notasalpie/aurea/homoquadratussmall.jpg
Homo quadratus.

Tambi�n podemos ver muestras de la secci�n �urea en la arquitectura. La fachada del
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