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Prefacio

 

La presente obra posee un alto valor didáctico que puede ser aprovechado, tanto por el profesor de matemática elemental, como por el estudiante autodidacta que se interese por esas materias.

Puede, además, en virtud del material que contiene acerca de las propiedades de ciertos números y de las pirámides numéricas, motivar el interés en el lector, por el estudio sistemático de la Aritmética, pues no debe olvidar que lo que en un principio es sólo curiosidad, posteriormente se puede llegar a transformar en un anhelo.

Desde el punto de vista recreativo, el libro contiene bastante material para el desarrollo y realización de trucos, adivinanzas y charadas matemáticas, la mayor parte, de gran originalidad, que pueden servir para agudizar la percepción e inteligencia del joven estudiante y de los lectores en general.

Contiene, también, material que permite valorizar en una forma clara y precisa, la magnitud de los gigantes numéricos, en relación con fenómenos o hechos del dominio general.

Bertrand Russell se expresaba de esta forma de la matemática:

La matemática posee no sólo verdad, sino belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía."

 

Este libro, en diez capítulos, ha seleccionado más de cien desafíos y explicaciones matemáticas de apreciaciones sacadas de la vida real, que hacen su lectura muy gratificante y entretenida especialmente a aquellos lectores interesados en estas materias y que no tienen una gran formación en estos temas.

Capítulo 1

Desayuno y rompecabezas

 

Contenido:

1. La ardilla en el calvero

2. Funcionamiento de los círculos escolares

3. ¿Quién cuenta más?

4. Los billetes de autocar

5. El vuelo del dirigible

6. La sombra

7. Un problema con cerillas

8. El tocón traicionero

9. Un truco aritmético

10. La cifra tachada

11. Adivinar un número sin preguntar nada

12. ¿Quién ha cogido cada objeto?

 

 

1. La ardilla en el calvero

Hoy por la mañana he jugado al escondite con una ardilla contaba a la hora del desayuno uno de los comensales en el albergue donde pasábamos las vacaciones—. ¿Recuerdan ustedes el calvero circular del bosque con un abedul solitario en el centro? Para ocultarse de mí, una ardilla se había escondido tras de ese árbol. Al salir del bosque al claro, inmediatamente he visto el hociquito de la ardilla y sus vivaces ojuelos que me miraban fijamente detrás del tronco. Con precaución, sin acercarme, he empezado a dar la vuelta por el contorno del calvero, tratando de ver al animalillo. Cuatro vueltas he dado alrededor del árbol, pero la bribona se iba retirando tras del tronco en sentido contrario, sin enseñarme nunca más que el hociquillo. En fin, no me ha sido posible dar la vuelta alrededor de la ardilla.

—Sin embargo —objetó alguien—, usted mismo ha dicho que dio cuatro veces la vuelta alrededor del árbol.

¡Alrededor del árbol, sí, pero no alrededor de la ardilla! —Pero la ardilla, ¿no estaba en el árbol?

— ¿Y qué?

—Entonces usted daba también vueltas alrededor de la ardilla.

— ¡Cómo las iba a dar, si ni una vez siquiera le pude ver el lomo!

— ¿Pero qué tiene que ver el lomo? La ardilla se halla en el centro, usted marcha describiendo un círculo, por lo tanto anda alrededor de la ardilla.

—Ni mucho menos. Imagínese que ando junto a usted describiendo un círculo, y que usted va volviéndome continuamente la cara y escondiendo la espalda. ¿Dirá usted que doy vueltas a su alrededor?

—Claro que sí. ¿Qué hace usted si no?

— ¿Le rodeo, aunque no me encuentre nunca detrás de usted, y no vea su espalda?

— ¡La ha tomado usted con mi espalda! Cierra el círculo usted a mi alrededor; ahí es donde está el intríngulis, y no en que me vea o no la espalda.

— ¡Perdone! ¿Qué significa dar vueltas alrededor de algo? A mi entender no quiere decir nada más que lo siguiente: ocupar sucesivamente distintas posiciones de modo que pueda observarse el objeto desde todos los lados. ¿No es así, profesor? —preguntó uno de los interlocutores a un viejecillo sentado a la mesa.

En realidad, están ustedes discutiendo sobre palabras —contestó el hombre de ciencia—. En estos casos hay que empezar siempre por lo que acaban de hacer; o sea, hay que ponerse de acuerdo en el significado de los términos. ¿Cómo deben comprenderse las palabras "moverse alrededor de un objeto"? Pueden tener un doble significado. En primer lugar, pueden interpretarse como un movimiento por una línea cerrada en cuyo interior se halla el objeto. Esta es una interpretación. Otra: moverse respecto de un objeto, de modo que se le vea por todos los lados. Si aceptamos la primera interpretación, debe reconocer que ha dado usted cuatro vueltas alrededor de la ardilla. Manteniendo la segunda, llegamos a la conclusión de que no ha dado vueltas a su alrededor ni una sola vez. Como ven ustedes, no hay motivo para discutir, si ambas partes hablan en un mismo lenguaje y comprenden los términos de la misma manera.

—Eso está muy bien; puede admitirse una interpretación doble. Pero, ¿cuál es la justa?

—La cuestión no debe plantearse así. Puede convenirse lo que se quiera. Sólo hay que preguntarse cuál es la interpretación más corriente. Yo diría que la primera interpretación es la más acorde con el espíritu de la lengua, y he aquí por qué. Es sabido que el Sol da una vuelta completa alrededor de su eje en 26 días...

— ¿El Sol da vueltas?

—Naturalmente, lo mismo que la Tierra, alrededor de su eje. Imaginen ustedes que la rotación del Sol se realizara más despacio; es decir, que diera una vuelta no en 26 días, sino en 365 días y 1/4, o sea en un año. Entonces el Sol tendría siempre el mismo lado orientado a la Tierra; nunca veríamos la parte contraria, la espalda del Sol. Pero, ¿podría entonces afirmarse que la Tierra no daba vueltas alrededor del Sol?

—Así, pues, está claro que a pesar de todo, yo he dado vueltas alrededor de la ardilla.

— ¡Señores, no se vayan! —dijo uno de los que habían escuchado la discusión—. Quiero proponer lo siguiente. Como nadie va a ir de paseo lloviendo como está y, por lo visto, la lluvia no va a cesar pronto, vamos a quedarnos aquí resolviendo rompecabezas. En realidad, ya hemos empezado. Que cada uno discurra o recuerde algún rompecabezas. Usted, señor profesor, será nuestro árbitro.

—Si los rompecabezas son de álgebra o de geometría, yo no puedo aceptar —declaró una joven.

—Ni yo tampoco —añadió alguien más.

—No, no; ¡deben participar todos! Rogamos a los presentes que no hagan uso ni del álgebra ni de la geometría; en todo caso sólo de los rudimentos. ¿Hay alguna objeción?

—Ninguna; ¡venga, venga! —dijeron todos—. A empezar.

 

La máquina aritmética causa efectos que se acercan al pensamiento más que todo lo que hacen los animales, pero no causa nada que pueda hacer decir que tiene voluntad, como los animales.

Pascal

Solución.

El rompecabezas referente a la ardilla en el calvero ha sido analizado por completo anteriormente. Pasamos al siguiente.

 

2. Funcionamiento de los círculos escolares

—En nuestro Instituto —comenzó un estudiante de bachillerato—, funcionan cinco círculos: de deportes, de literatura, de fotografía, de ajedrez y de canto. El de deportes funciona un día sí y otro no; el de literatura, una vez cada tres días, el de fotografía, una cada cuatro; el de ajedrez, una cada cinco, y el de canto, una cada seis. El primero de enero, se reunieron en la escuela todos los círculos y siguieron haciéndolo después en los días designados, sin perder uno. Se trata de adivinar cuántas tardes más, en el primer trimestre, se reunieron los cinco círculos a la vez.

— ¿El año era corriente o bisiesto? —preguntaron al estudiante.

—Corriente.

— ¿Es decir, que el primer trimestre —enero, febrero y marzo— fue de 90 días?

—Claro que sí.

—Permíteme añadir una pregunta más a la hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas —dijo el profesor—. Es la siguiente: ¿cuántas tardes de ese mismo trimestre no se celebró en el Instituto ninguna reunión de círculo?

— ¡Ah, ya comprendo! —exclamó alguien—. Es un problema con segundas... Me parece que después del primero de enero, no habrá ni un día en que se reúnan todos los círculos a la vez, ni tampoco habrá uno en que no se reúna ninguno de los cinco. ¡Claro!

— ¿Por qué?

—No puedo explicarlo, pero creo que le quieren pescar a uno.

— ¡Señores! —dijo, tomando la palabra, el que había propuesto el juego y al que todos consideraban como presidente de la reunión—. No hay que hacer públicas ahora las soluciones definitivas de los rompecabezas. Que cada uno discurra. El árbitro, después de cenar, nos dará a conocer las contestaciones acertadas. ¡Venga el siguiente!

 

Solución.

Contestaremos fácilmente a la primera cuestión —al cabo de cuántos días se reunirán en la escuela a la vez los cinco círculos—, si sabemos encontrar el menor de todos los números que se divida exactamente (mínimo común múltiplo) por 2, 3, 4, 5, y 6. Es fácil comprender que este número es el 60. Es decir, el día 61 se reunirán de nuevo los 5 círculos: el de deportes, después de 30 intervalos de dos días; el de literatura, a los 20 intervalos de 3 días; el de fotografía, a los 15 intervalos de cuatro días; el de ajedrez, a los 12 de 5 días, y el de canto, a los 10 de 6 días. Antes de 60 días no habrá una tarde así. Pasados otros 60 días vendrá una nueva tarde semejante, durante el segundo trimestre.

Así, pues, en el primer trimestre hay una sola tarde en la que se reunirán de nuevo los cinco círculos a la vez. Hallar respuesta a la pregunta ¿cuántas tardes no se reunirá ningún círculo? resulta más complicado. Para encontrar esos días hay que escribir por orden los números del 1 al 90 y tachar, en la serie, los días de funcionamiento del círculo de deportes; es decir, los números 1, 3, 5, 7, 9, etc.

Luego hay que tachar los días de funcionamiento del círculo de literatura: el 4, 10, etc. Después de haber tachado los correspondientes a los círculos de fotografía, de ajedrez y de canto, nos quedarán los días en que en el primer trimestre no haya funcionado ni un solo círculo.

Quien haga esta operación se convencerá de que en el curso del trimestre primero, son bastantes —24— los días en que no funciona ningún círculo; en enero: 8: los días 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24 y 30. En febrero hay 7 días así, y en marzo, 9.

 

3. ¿Quién cuenta más?

Dos personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transeúntes que pasaban por la acera. Una estaba parada junto a la puerta, otra andaba y desandaba la acera. ¿Quién contó más transeúntes?

—Andando, naturalmente que se cuentan más; la cosa está clara —oyóse en el otro extremo de la mesa.

—Después de cenar sabremos la respuesta —declaró el presidente—. ¡El siguiente!

 

Solución.

Ambos contaron el mismo número de transeúntes. El que estaba parado junto a la puerta contaba los transeúntes que marchaban en ambas direcciones, mientras que el que andaba veía dos veces más personas que se cruzaban con él.

 

4. Los billetes de autocar

—Soy taquillero en una estación de autocares y despacho billetes —empezó a decir el siguiente participante en el juego—. A muchos esto les parecerá cosa sencilla. No sospechan el número tan grande de billetes que debe manejar el taquillero de una estación, incluso de poca importancia. Es indispensable que los pasajeros puedan adquirir billetes de la indicada estación a cualquiera otra del mismo autocar en ambas direcciones. Presto mis servicios en una línea que consta de 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes piensan ustedes que ha preparado la empresa para abastecer las cajas de todas las estaciones?

—Ha llegado su turno, señor aviador —proclamó el presidente.

 

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como una tumba.

Bertrand Russell

 

Solución.

En cada una de las 25 estaciones, los pasajeros pueden pedir billete para cualquier estación, es decir, para los 24 puntos diferentes. Esto indica que el número de billetes diferentes que hay que preparar es de 25 · 24 = 600.

 

5. El vuelo del dirigible

—Imaginemos que despegó de Leningrado un dirigible con rumbo al Norte. Una vez recorridos 500 km en esa dirección cambió de rumbo y puso proa al Este. Después de volar en esa dirección 500 km, hizo un viraje de 90° y recorrió en dirección Sur 500 km. Luego viró hacia el Oeste, y después de cubrir una distancia de 500 km, aterrizó. Si tomamos como punto de referencia Leningrado, se pregunta cuál será la situación del lugar de aterrizaje del dirigible: al oeste, al este, al norte o al sur de esta ciudad.

—Este es un problema para gente ingenua —dijo uno de los presentes: Quinientos pasos hacia adelante, 500 a la derecha, 500 hacia atrás y 500 hacia la izquierda, ¿a dónde vamos a parar? Llegamos naturalmente al mismo lugar de donde habíamos partido.

— ¿Dónde le parece, pues, que aterrizó el dirigible?

—En el mismo aeródromo de Leningrado de donde había despegado. ¿No es así?

—Claro que no.

— ¡Entonces no comprendo nada!

—Aquí hay gato encerrado —intervino en la conversación el vecino—. ¿Acaso el dirigible no aterrizó en Leningrado...? ¿No podría repetir el problema?

El aviador accedió de buena gana. Le escucharon con atención, mirándose perplejos.

—Bueno —declaró el presidente—. Hasta la hora de la cena disponemos de tiempo para pensar en este problema; ahora vamos a continuar.

 

Dejad a un lado las formas sustanciales y las cualidades ocultas, y referid los hechos naturales a leyes matemáticas.

Newton

 

Solución.

Este problema no contiene contradicción alguna. No hay que pensar que el dirigible vuela siguiendo el perímetro de un cuadrado; es necesario tener en cuenta la forma esferoidal de la Tierra. Los meridianos, al avanzar hacia el Norte, se van aproximando (véase la figura); por ello, cuando vuela los 500 kilómetros siguiendo el arco del paralelo situado a 500 km al norte de la latitud de Leningrado, el dirigible se desplaza hacia Oriente un número de grados mayor que el que recorre después en dirección contraria, al encontrarse de nuevo en la latitud de Leningrado. Como resultado de ello, el dirigible, al terminar el vuelo, estaba al este de Leningrado.

¿Cuánto? Esto puede calcularse. En la figura, ven ustedes la ruta seguida por el dirigible: ABCDE. El punto N es el Polo Norte; en ese punto se juntan los meridianos AB y CD. El dirigible voló primero 500 km hacia el Norte, es decir, siguiendo el meridiano AN. Como la longitud de un grado de meridiano equivale a 111 km, el arco de meridiano de 500 km contendrá 500 : 111=4 grados y medio. Leningrado está situado en el paralelo 60; por consiguiente, el punto B se encuentra en los

 

60° + 4,5° = 64,5°.

 

Después, el dirigible voló con rumbo Este, es decir, por el paralelo BC, y recorrió, siguiéndolo, 500 km. La longitud de un grado en este paralelo puede calcularse (o verse en las tablas) ; equivale a 48 km.

 



 

Es fácil determinar cuántos grados recorrió el dirigible en dirección Este, 500: 48=10,4°. Luego, la nave aérea tomó dirección Sur, es decir, voló siguiendo el meridiano CD y recorridos 500 km había de encontrarse de nuevo en el paralelo de Leningrado. Ahora la ruta toma dirección Oeste, es decir, va por AD; 500 km de este camino es evidentemente una distancia más corta que AD. En la distancia AD hay los mismos grados que en la BC, es decir, 10,4°. Pero la distancia de un grado, a los 60° de latitud, equivale a 55,5 km. Por consiguiente, entre A y D existe una distancia igual a 55,5 · 10,4=577 km. Vemos, pues, que el dirigible no podía aterrizar en Leningrado: le faltaron 77 km para llegar a este punto; es decir, que descendió en el lago Ladoga.

 
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