Gracias al ahínco de Antonio Bravo que ha conseguido la versión rusa, nunca antes traducida al castellano, a la paciencia de Natalia Abramenko que lo ha






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Presentación

Estimados lectores: 
Gracias al ahínco de Antonio Bravo que ha conseguido la versión rusa, nunca antes traducida al castellano, a la paciencia de Natalia Abramenko que lo ha traducido, tratando de expresar en castellano, la sensibilidad que el autor le ha dado originalmente en ruso, a Patricio Barros que ha "traducido" lo ya traducido por Natalia, para darle sentido en el lenguaje de la geometría y a Guillermo Mejía que ha corregido, con infinita paciencia, el texto completo, hemos logrado poner a disposición de los internautas, un libro que constituye una exclusividad en la lengua castellana; nos referimos a la Geometría Recreativa escrita por Yakov Perelman. 
Ante Uds. uno de los mejores clásicos de la geometría práctica. Su lenguaje sencillo y directo facilita la lectura del libro: problemas poco comunes, captura de situaciones históricas y curiosos ejemplos de la vida diaria, harán las delicias de los jóvenes lectores y talvez de otros no tanto. 
Esta publicación tiene como objetivo principal inculcar en los jóvenes el gusto por el estudio de la geometría, promoviendo en ellos el interés por su aprendizaje independiente y entregándoles conocimientos suplementarios a los programas escolares. 
Este libro, una primicia en la lengua castellana, es el resultado de la unión de voluntades que, trabajando en conjunto, han aportado un grano de arena más al conocimiento y difusión de las obras gran autor ruso, Yakov Perelman. 

PRIMERA PARTE 
GEOMETRÍA AL AIRE LIBRE 


El idioma de la naturaleza es matemática, 
letra de esta lengua, 
son los círculos, triángulos y 
otras figuras geométricas. 
Galileo.








CAPÍTULO PRIMERO 
GEOMETRÍA EN EL BOSQUE 


Contenido: 

  1. Medición de la altura mediante la longitud de la sombra 

  2. Dos métodos más 

  3. El método de Julio Verne 

  4. Como actuó el coronel 

  5. Con ayuda de una agenda 

  6. Sin acercarse al árbol 

  7. El altímetro de los silvicultores 

  8. Con ayuda del espejo 

  9. Dos pinos 

  10. La forma del tronco 

  11. Un gigante de seis patas 

1. Medición de la altura mediante la longitud de la sombra. 
Todavía recuerdo cuando miré atentamente por vez primera a un canoso guardabosque, el que estando junto a un gran pino, midió su altura con un instrumento de bolsillo. Cuando apuntó con una tablilla cuadrada a la copa del árbol, yo esperaba que el viejo subiera con una cadena para medirlo; en lugar de ello, volvió a meter en el bolsillo el instrumento y dijo que había efectuado la medida. En ese momento yo pensaba que el viejo aún no había comenzado su trabajo… 
En aquel tiempo yo era muy joven y me parecía milagrosa esa forma de medir la altura del árbol sin cortarlo ni subirse a él. Solo mas tarde, cuando tuve las primeras nociones de geometría, comprendí que tan fácil resulta hacer ese tipo de milagros. 
Existen diversas formas de realizar dichas mediciones con ayuda sencillos instrumentos, sin mecanismos especiales. 
Una de ellas es un método tan fácil como antiguo. Sin duda con este método el sabio griego Falos, quien vivió seis siglos antes de Cristo, midió la altura de una pirámide en Egipto. Aprovechó la sombra suya. Los sacerdotes y el faraón, se reunieron al pie de la pirámide, mirando con asombro al extranjero, quien dedujo por la sombra la altura de la gran construcción. Falos, dice la leyenda, eligió un día en el que la longitud de su sombra era igual a su altura, en el mismo momento, la altura de la pirámide tenía que ser igual a la longitud de su sombra. Es el único caso en el que se emplea la sombra de una persona para efectuar la medición. 
La tarea del sabio griego ahora nos parece simple, pero hemos de de tener presente, que estamos mirando el trabajo desde la cima del edificio de la geometría, levantado después de Falos, quien vivió en una época anterior a Euclides, el autor del famoso libro, en el que muchos matemáticos estudiaron la geometría durante dos siglos después de su fallecimiento. En concreto, las bases de la geometría establecidas en el citado libro son bien conocidas hoy por cualquier alumno, mas no eran conocidas en la época de Falos, quien echando mano de la sombra para calcular la altura de la pirámide, necesitaba conocer algunos principios geométricos del triángulo, en esencia, los dos siguientes (Falos fue el primero en enunciar estos principios): 


  1. Los ángulos sobre la base de un triángulo isósceles, son iguales, y recíprocamente, los lados, opuestos a los ángulos iguales del triángulo isósceles, son iguales. 

  2. La suma de los ángulos de cualquier triángulo (el triángulo rectángulo es un caso particular), es igual a dos ángulos rectos. 


Falos, armado solamente de estos principios, pudo inferir que al estar sobre un terreno plano, siendo su sombra igual a su altura, los rayos de Sol debían caer en un ángulo igual a la mitad del ángulo recto, por lo tanto, la altura de la pirámide desde el centro de su base y el extremo de su sombra definían un triángulo isósceles. 
Con ayuda de este método que parece tan simple, durante un día soleado podemos hacer mediciones de cualquier árbol aislado, siempre que su sombra no se una a la sombra de otro. Pero en nuestras latitudes (San Petersburgo está en la latitud 60°N y El Cairo, 30°N) no es tan fácil elegir un buen momento como si se puede en Egipto; acá el Sol se presenta a muy baja altura sobre el horizonte, y las sombras pueden ser iguales a la altura de sus objetos solo durante el verano, alrededor del mediodía. Por eso el método del Falos no siempre resulta fácil de llevar a la práctica. 



De una manera un poco distinta resulta fácil calcular la altura mediante la sombra en un día soleado, no importando la longitud de ésta. Puede medir su propia sombra o la de un jalón enterrado verticalmente en un suelo plano y calcular la altura buscada mediante la siguiente proporción (figura 1): 



Es decir, que la altura del árbol equivale tantas veces a su altura (o la del jalón), como tantas veces equivale la sombra del árbol a su sombra (o la del jalón). Esto se deduce de la semejanza geométrica de los triángulos ABC y abc (por tener dos ángulos congruentes). 
Algunos lectores replican, pues, que este método es tan elemental que no necesita argumentación geométrica. ¿Sin echar mano de la geometría, es posible saber que tan alto es el árbol conociendo la longitud de su sombra? Ciertamente no es tan fácil como parece. Intente llevar a la práctica este método, proyectando una sombra con la luz de una lámpara; verá que no se cumple. 
En la figura 2 se observa que la altura del poste AB equivale aproximadamente al triple de la altura de la columna pequeña ab , mientras que la altura de la sombra del poste es unas ocho veces más larga que la sombra de la columna (BC:bc ). No es posible explicar, sin echar mano de la geometría, por qué podemos emplear el método en unos casos y en otros no. 

Problema 
Veamos dónde está la diferencia. Lo que pasa es que los rayos del Sol son paralelos entre sí, mas los rayos del farol no lo son. Esta última parte queda clara, pero ¿cómo pueden ser paralelos los rayos del Sol, si ellos se cruzan entre sí en el punto de donde parten? 

Solución 
Se pueden considerar paralelos los rayos de Sol que caen sobre la Tierra, porque el ángulo entre ellos es tan pequeño, que prácticamente resulta imperceptible. Un simple cálculo geométrico puede aclarar esta confusión. Imagínese que salen dos rayos desde cualquier punto del Sol y caen sobre la Tierra a una distancia aproximada de un kilómetro entre ellos. Ahora bien, si colocamos una punta del compás sobre el Sol y trazamos una circunferencia de radio igual a la distancia entre el Sol y la Tierra (150.000.000 km), nuestros dos rayos –radios de la circunferencia– tienden un arco de un kilómetro de longitud. 
La longitud total de esta gigantesca circunferencia es igual a: 



Un grado de esta circunferencia, evidentemente, es 360 veces menor, es decir, que mide unos 2.600.000 km; un minuto de arco es 60 veces menor que el grado, o sea que mide unos 43.000 km, y un segundo de arco es 60 veces menor, o sea que mide unos 720 km. Pero nuestro arco tiene la longitud de 1 km; es decir, corresponde a un ángulo de 1/720 segundos (o sea 0,0014 segundos). 
 
Figura 2. Cuando el mismo método de medición es imposible


Ese ángulo resulta imperceptible, incluso para los instrumentos astronómicos; por lo tanto, podemos considerar que los rayos de Sol caen a la Tierra en forma paralela. 
No podemos argumentar el método examinado sin efectuar las correspondientes consideraciones geométricas, estableciendo la proporción entre la altura y su sombra. 
Si llevamos a la práctica el método de las sombras, constataremos su inexactitud. Las sombras tienen un contorno difuso por lo cual no se pueden delimitar con precisión; por lo que su demarcación carece de exactitud. 
Esto ocurre, porque el Sol no es un punto sino un gran cuerpo luminiscente, que emite rayos desde varios puntos. 
La Figura 3 muestra qué a la sombra BC del árbol se le suma la sombra CDdebida a la penumbra , la misma que se va desvaneciendo progresivamente. El ángulo CAD entre los límites de la penumbra corresponde al ángulo en el que siempre podemos ver el disco del Sol, y mide aproximadamente medio grado. Debido a que tenemos dos sombras se presenta un error. Si la posición del sol es baja, este error hace que la medida se desvíe de su valor un 5% ó más. 
 
Figura 3. Cómo aparece la sombra


A este error se le unen otros, por ejemplo, los accidentes del terreno, y el resultado es poco preciso. En sitios montañosos no se puede aplicar este método. 

2. Dos métodos más 
Se pueden medir las alturas sin ayuda de las sombras. Existen diversas formas; empezaremos examinando dos de ellas, bastante simples. 
Para iniciar podemos emplear las propiedades del triángulo rectángulo isósceles, utilizando un sencillo instrumento, el cual se construye con suma facilidad, con una tablilla y tres alfileres. Sobre una tablilla lisa marcamos tres puntos, los vértices del triángulo rectángulo isósceles, en estos puntos clavamos los alfileres (Figura 4). 
 
Figura 4. El instrumento hecho con alfileres para medir alturas


Si no dispone de escuadra y compás para dibujar el triángulo, puede coger un papel, lo dobla una vez, lo dobla luego en sentido transversal respecto al primer doblez, de modo que se unan los extremos del mismo, de este modo se obtiene el ángulo recto. Se puede emplear el mismo papel para medir los trazosab y bc , de modo que tengan igual longitud, 
Como vemos, podemos construir el instrumento de diversas formas. 
Este instrumento es tan fácil de usar como de construir. Alejándose del árbol, coloque el instrumento de modo que uno de los catetos del triángulo se oriente verticalmente. Para facilitar la medición, puede utilizar una plomada (un hilo con un objeto pesado atado a un extremo) atada al alfiler superior de este cateto. 
 
Figura 5. Esquema del uso de la tablilla con alfileres.


Acercándose al árbol o alejándose de él, encontrará un sitio A (Figura 5), desde cual, verá que los alfileres a y c , tapan la copa C del árbol: eso significa que la prolongación de la hipotenusa ac pasa por el punto C . Como ya lo hemos visto en el ejemplo anterior, la separación entre ab es igual a CB , ya que el ángulo a= 45°. 
Finalmente, después de medir el trazo aB y agregarle la longitud de BD , equivalente a la altura aA de los ojos al piso, se obtiene la altura del árbol. 
Existe otro método, que no usa la tablilla con los alfileres. Usted necesita un jalón; clava verticalmente éste en la tierra de modo que la parte que sobresalga del piso sea igual a su estatura. Debe elegir el sitio para el jalón de modo que le permita, al tumbarse como se muestra en la Figura 6, ver la copa del árbol y el punto superior del jalón en línea recta. 
 
Figura 6. Otro método más para medir la altura.


Como el triángulo Abc , es isósceles y rectangular, entonces el ángulo A = 45 °, y por lo tanto AB = BC , es la altura buscada del árbol 
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