Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas






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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial


Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”

Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas

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M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

INDICE

Presentación………………………………………………………………………………………………4

Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6

Ejercicios……………………………………………………………………………… 7

Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8

Ejercicios…………………………………………………………………………………9

Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10

Ejercicios……………………………………………………………………………….11

Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12

Ejercicios………………………………………………………………………………..13

Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14

Ejercicios………………………………………………………………………………..14

Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15

Ejercicios………………………………………………………………………………..16

Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17

Ejercicios………………………………………………………………………………..18

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20

Ejercicios…………………………………………………………………………………21

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22

Ejercicios…………………………………………………………………………………23

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24

Ejercicios…………………………………………………………………………………25

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26

Ejercicios………………………………………………………………………………….27

Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28

Ejercicios………………………………………………………………………………...29

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30

Ejercicios…………………………………………………………………………………31

Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32

Ejercicios…………………………………………………………………………………33

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34

Ejercicios…………………………………………………………………………………35

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36

Ejercicios………………………………………………………………………………..38

Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39

Ejercicios………………………………………………………………………………..40

GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45

PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.

Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.

Tema No. 1. Límite de una función.

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Definición de función: Decir que significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

Ejemplo: Encuentre el

Solución. Note que ( no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.



La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.

Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:

  1. Respuesta: -2







  1. Respuesta: 11







  1. Respuesta: 5











  1. Respuesta: -1/3

Calcule el límite por la derecha de la siguiente función:

Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:

Respuesta: -1

Tema No. 2. Límites trigonométricos.

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El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del límite

En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si entonces así que al aplicar el teorema del límite de un producto de dos funciones, se tiene:



En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma donde u=x-2, entonces





= (3) (1)

= 3

Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.

  1. Respuesta: 0







  1. Respuesta: -1







  1. Respuesta: 5







  1. Respuesta: -1





9. Respuesta:

10. Respuesta: 0

Tema No. 3. Continuidad de una función.

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Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son: discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica y discontinuidad de salto.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la función en x= -2, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad corresponde.

Analizando la condición de continuidad

  1. No está definido en los números reales.





Existe en los números reales.

Por lo tanto No se cumple la condición de continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.

Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en 2; si no lo es, explique por qué.

  1. Respuesta: si







  1. Respuesta: no, porque g (2) no existe.







  1. Respuesta: no, porque h (2) no existe.







  1. Respuesta: no, porque g (2) no existe.






Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.

c:\users\gustavo\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\vn4284t6\mpj04003770000[1].jpg

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función



Igualando con cero el denominador:



Resolviendo por factorización:





Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos

  1. Para x=0

==-

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-2/3)

Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.

1. Respuesta: Disc. evitable x=2

2.

3. Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3

4.

5. Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1

6.

7. Respuesta: Continua

Tema No. 5. Incrementos.

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Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por , eso es:



Ejemplo: Dada la función , obtenga el incremento de la función.

El incremento de la función se obtiene con:



Como

Entonces



Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la función, esto es





Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones











Tema No. 6. La derivada de una función.

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La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función

Aplicando la definición de derivada:



Resulta:



Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene:





Simplificando



Realizando la división



Finalmente, calculando el límite cuando se obtiene la derivada de la función


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