Prólogo






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CAYLEY Y SYLVESTER



LOS INVARIANTES
Durante mucho tiempo ha sido artículo de fe la creencia en el valor de símbolos matemáticos sin sentido, creencia que ha dado lugar a verdaderos absurdos cuyo origen está en la que Enriques ha llamado "superstición del formalismo", que nace de una falsa interpretación del principio de Hankel, según el cual toda expresión escrita con los símbolos de la Aritmética universal sigue siendo válida cuando las letras dejan de representar simples "cantidades". Hoy sabemos que esto sólo es cierto bajo ciertas condiciones. El año 1863 Weierstrass estableció el llamado teorema final de la Aritmética que demuestra la no existencia de ningún sistema de números complejos de más de dos componentes en el que el producto satisfaga todas las leyes formales de la Aritmética.
Ya el año 1858 Cayley había encontrado una extraña propiedad en el cálculo de matrices: la no conmutatividad del producto, que causó el efecto de una herejía; pero las herejías dejan de serio cuando son razonables y la de Cayley ha sido, precisamente, la base de la obra de Heisenberg que ha modificado la Mecánica ondulatoria, sustituyendo el principio de causalidad toda causa tiene un efecto, admitido como dogma científico, por el de indeterminación, que reduce a la modesta categoría de probable la certeza que orgullosamente hemos venido atribuyendo a la Ciencia.
Pero en la primera mitad del siglo XIX, las cosas pasaban de otro modo, y fueron los ingleses quienes, saliendo de su "espléndido aislamiento", las modificaron de raíz. El año 1812 Jorge Peacock, Carlos Babbage y Juan Federico Guillermo Herschell fundan en Cambridge una "Sociedad Analítica" que no tardó en hacer progresar la Matemática, encerrada hasta entonces en moldes newtonianos. Dicha sociedad fue el germen de lo que después se ha llamado escuela de los reformadores ingleses, quienes, con su característica originalidad insular, pusieron los cimientos de la actual Álgebra por postulados; y cuando el año 1841 Cayley y Sylvester crean la teoría de invariantes, de importancia capital en la Física teórica, el terreno está ya preparado para recibir la nueva semilla.
James Joseph Sylvester nació en Londres el 8 de septiembre de 1814, de padres israelitas, y se ignora todo lo relativo a su infancia. Contaba siete años cuando vino al mundo Arturo Cayley, su complemento algebraico, en Richmond, Surrey, de padre inglés y madre rusa, el 16 de agosto de 1821, el año en que Abel creyó haber resuelto la ecuación general de quinto grado y, al observar un error en sus cálculos, le inspiró algo mucho mejor: la demostración de la imposibilidad de resolverla, que decidió la suerte de toda una teoría algebraica.
El padre de Cayley, que era negociante, se retiró a vivir tranquilamente en Blackheath, en 1829, donde el pequeño Arturo aprendió las primeras letras, al mismo tiempo que Sylvester, ya adolescente, ingresaba en la Royal Institution de Liverpool desde donde tuvo el primer contacto con los EE.UU. en los que años después había de producir una verdadera revolución matemática. Allí tenía un hermano que era actuario, y la empresa de loterías le consultó un difícil problema de cálculos de probabilidades. Lo resolvió, y este su primer trabajo le valió la bonita suma de quinientos dólares que, en aquella época, era casi una fortuna.
Su origen judío le impidió suscribir los treinta y nueve artículos que la Iglesia anglicana exige como mínimo de creencias religiosas, y marchó a Irlanda en busca de la libertad de conciencia que le negaba Inglaterra. En Dublín obtuvo los diplomas de bachiller y licenciado que no pudo conseguir en Cambridge, en cuyo Trinity College ingresaba Cayley con la calificación de "por encima del primero" al mismo tiempo que Sylvester embarcaba para Virginia como profesor de Matemática de su Universidad.
En aquellos años, los analistas ingleses habían hecho grandes progresos. John Warren atacó el problema del imaginarismo, que entonces estaba de moda y que es el causante de las muchas tonterías que han escrito los filósofos que sólo conocen la Matemática del bachillerato, y su A Treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities , publicado en 1828, puede considerarse como una anticipación de Gauss, y Peacock da a conocer su tratado de Algebra en el que por primera vez se consideran las letras a, b, que intervienen en relaciones como
a + b = b + a
a ´ b = b ´ a
no como números, sino cómo símbolos arbitrarios combinados convenientemente en dos operaciones: una representada por el signo + y la otra por el signo ´ de acuerdo con los postulados previamente admitidos A Peacok le faltó, sin embargo, dar el paso decisivo: demostrar que sus postulados no eran contradictorios, paso que franquearon los alemanes que se ocupaban de los fundamentos de la Matemática.
La estancia de Sylvester en Virginia no fue grata. En cierta ocasión lo insultó un joven estudiante que no fue castigado. Sylvester dimitió y buscó trabajó en las universidades de Harvard y Columbia, y cómo no lo encontrara, regresó a Inglaterra donde obtuvo colocación como actuario en una compañía dé seguros, y olvidó la Matemática pura, ya que la aplicada es, precisamente, en los problemas de seguros donde tiene una de sus mejores aplicaciones.
En éste tiempo Cayley se dedicó al turismo. Viajó por Francia, Suiza e Italia, con la característica euforia dé los ingleses en cuanto cruzan el canal de La Mancha y, sobre todo, cuándo entran en una boite de nuit de Montmartre o les ciega la luz agresiva del cielo italiano.
Cayley, como Sylvester, también olvidó la Matemática, y el año l846, por una rara coincidencia, ambos empiezan a estudiar Derecho, ambos se hacen abogados y ambos ejercen la profesión que tan alejada parece de las ciencias exactas, pero con las que debe de tener alguna conexión misteriosa.
Es muy frecuente, el caso de los estudiantes que, al fracasar en la Facultad de Ciencias o en las escuelas de Arquitectura o Ingeniería cambian el Álgebra por el Código civil y son, luego buenos abogados. Quizás, la explicación de este fenómeno se encuentre en la inflexibilidad de la interpretación de un hecho matemático y en la flexibilidad de la interpretación de un hecho jurídico y se concibe que haya espíritus que se sientan atraídos por una u otra orientación.
Seguramente esa es la causa de que Grecia diese geómetras y Roma jurisconsultos. La ciencia griega es la romana desinteresada y romántica y la romana interesada y pragmática, y su aspecto práctico, que arranca de sus ideas religiosas, da carácter a sus concepciones científicas. La vida ciudadana, las obligaciones civiles y la preparación para la guerra, movidos los hombres a impulsos de una gran voluntad, hicieron de Roma un pueblo casi netamente práctico que redujo al mínimo la especulación científica, incompatible con el dinamismo de su idiosincrasia que le llevó a gozar plenamente de la vida. A Roma le interesó más el hombre que la Naturaleza, y a Grecia le interesó más la Naturaleza que el hombre y por eso la ciencia romana no tiene el poder de abstracción que tuvo en Atenas y en Alejandría, y, en vez de la Geometría, creó el Derecho, como corolario de su genio fundamentalmente humano.
Esto es muy comprensible y en el mundo ha de haber espíritus de todos los matices. Lo que ya no es tan comprensible es que luego de una formación matemática rigurosa, como la de Cayley y Sylvester, se abandone para abrazar la Jurisprudencia, cuyo ejercicio profesional puede ser compatible, tal es el caso de Fermat, con la Matemática, pero no el olvido absoluto de ésta para entregarse a la otra, y menos aún en Cayley que, cuando se decidió a estudiar Derecho, ya hacia tres años que había realizado varias investigaciones en la teoría de determinantes y hacía seis que, al traducir las operaciones geométricas de proyección al lenguaje analítico, a la manera cartesiana, sentó las bases de la teoría de invariantes.
El concepto de invariante está ligado al de grupo cuya definición general se apoya en la idea de operación; y así dice Bourlet que "un conjunto de transformaciones constituye un grupo si comprende la transformación idéntica y si el producto de un número cualquiera de transformaciones, así como la inversa de una transformación, forma parte del conjunto".
Esta definición, demasiado abstracta, necesita algunas aclaraciones para el lector no matemático.
Una transformación es una correspondencia entre dos elementos A y B de un conjunto, llamándose B el transformado de A. Si consideramos ahora dos transformaciones T y T', una de las cuales hace corresponder al elemento A el B y la otra el B al C, el producto de las transformaciones T y T' es la transformación que al elemento A le nace corresponder el C; la inversa de la transformación T es la que al elemento B le hace corresponder el A, y, finalmente, el producto de una transformación por su inversa, aplicado a una figura, la, sustituye por ella misma: transformación idéntica. Una notable propiedad de los grupos es la invariantes, es decir: operaciones que dejan las relaciones que se pueden establecer entre los elementos del grupo y cuya ley de composición constituye su estructura.
Un ejemplo aclarará estas ideas. Tracemos en una hoja de papel una figura cualquiera, sencilla o complicada, compuesta de rectas y curvas que se entrecrucen, y doblemos el papel en la forma que nos plazca, pero ,sin desgarrarlo. ¿Tendrá esta figura alguna propiedad que sea la misma antes y después de plegar el papel? Tracemos ahora la misma figura sobre un trozo de caucho y luego estiremos el caucho en todas las direcciones que queramos, pero sin desgarrarlo. Se comprende sin dificultad que las longitudes de las líneas han variado; que los ángulos que formaban no son los mismos, ni las áreas tampoco; que algunas de las curvas se habrán complicado y otras, en cambio, han podido convertirse en rectas y, al revés, algunas rectas en curvas, y, sin embargo, hay algo en la figura que no ha cambiado, algo tan sencillo que, precisamente por eso, puede pasar inadvertido: ese algo es el orden de los puntos en que una línea cualquiera de la figura, recta o curva, encuentra a otra línea cualquiera, de modo que si, por ejemplo, para ir de un punto A a otro C, siguiendo una cierta línea, teníamos que pasar por un punto B de esta línea antes de deformarla, también tendremos que pasar por B para ir de A a C después de deformada, es decir: ese orden es un invariante en las transformaciones particulares que han plegado la hoja de papel y estirado la hoja de caucho.
Y ahora es fácil ver que la Geometría se reduce al estudio de los invariantes del grupo de los movimientos, esto es: de las relaciones que no cambian en el movimiento de los cuerpos sólidos, independientemente de las que tengan con el mundo exterior, límite alcanzado por un doble proceso psicológico de abstracción de las sensaciones y de generalización de la idea de cuerpo hasta hacerle asumir la categoría de figura geométrica, de tal modo que cuando decimos, por ejemplo, que en un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales, no pensamos un triángulo determinado, sino un triángulo isósceles cualquiera, con absoluta independencia de su magnitud y de su posición.
Obsérvese, en efecto, que los objetos del mundo exterior producen en nosotros diversas sensaciones que situamos en un cierto continente, de tal modo que la noción de éste queda aislada de las de orden, peso , contacto, etc. hasta llegar al concepto de extensión concreta primero y al de espacio vacío después. Si aquellas sensaciones no varían cuando estamos quietos, es decir, cuando no realizarnos ningún esfuerzo muscular, decimos que el objeto está fijo y si varían afirmamos que se mueve, esto es, que experimenta un cambio de posición o de estado, según que podamos o no podamos restablecer el primitivo conjunto de sensaciones por movimientos adecuados de nuestro cuerpo. En el primer caso el objeto no se deforma y en el segundo si.
Por consiguiente, si un objeto, colocado en una po sición P' , produce en nosotros un cierto conjunto de sensaciones, y pasa sin deformarse de P' a P'' y de P'' a P''' , variarán las sensaciones, pero siempre podremos restituir las primitivas por un cambio de actitud que nos permita colocar los diversos miembros de nuestro cuerpo en la misma posición relativa inicial respecto del objetos es decir, que la transformación directa de P' a P''' , es también un movimiento, de donde resulta que todos los movimientos sin deformación constituyen un grupo, concepto que aparecía en la definición de Bourlet como un todo complicado y ahora se presenta al espíritu como la síntesis de una serle de hechos idealizados, verdadera experimentación mental integrada por juicios mudos en tanto hemos tenido conciencia de estos dos procesos intelectuales: el formado por la variedad de sensaciones musculares y el constituido por la permanencia de forma en los movimientos, que nos permiten conocer las propiedades métricas de congruencia según las cuales dos figuras iguales a una tercera son iguales entre sí, o si se prefiere, dos figura iguales son dos posiciones distintas de una misma figura.
Los movimientos conservan las longitudes, los ángulos y la orientación de las figuras; pero hay otras transformaciones que no tienen estas propiedades, como las semejanzas, que conservan los ángulos pero no la distancia, y las simetrías, en las que se pierde la orientación; tal el guante de la mano derecha que no se puede superponer al de la izquierda sin volverlo del revés, en cuyo caso ya no es el mismo guante, o el objeto y su imagen en un espejo, que tampoco son superponibles sin atravesar el espejo, y de aquí, tal vez, las sensaciones extrañas que experimentamos cuando pensamos en la imposibilidad de coincidir con nuestra imagen al mirarnos al espejo; algo así como si fuera otro el que nos mira desde su superficie.
El grupo formado por todos los movimientos, todas las semejanzas y todas las simetrías es el grupo fundamental de Félix Klein, en cuyo famoso Programa de Erlangen estableció que la Geometría estudia las propiedades invariantes respecto de un grupo cualquiera de transformaciones, de donde resulta que hay tantas Geometrías corno grupos de transformaciones.
Pero estos grupos se pueden reducir a tres: Análisis Situs, Geometría Proyectiva y Geometría Métrica, cada uno de los cuales corresponde a tres grupos de transformaciones fundamentales y estudia las propiedades invariantes respecto de estos grupos.
El concepto de grupo, surgido, de la experiencia, ha conseguido sistematizar las tres Geometrías que nacen de tres conjuntos de sensaciones: musculares, visuales y táctiles, estudiando cada una de ellas las propiedades invariantes respecto de un grupo de transformaciones fundamentales que responden a necesidades biológicamente inmediatas, puesto que todas las sensaciones espaciales, de espacio psicológico, tienden a nuestra conservación individual provocando las adecuadas reacciones corporales, directas o reflejas, que permiten el paso de la representación psicológica a la Geometría por medio de una eliminación de los datos heterogéneos de los sentidos, sin que nos asombren las desigualdades entre los espacios psicológicos: anisótropos, heterogéneos y limitados, y el espacio geométrico: isótropo, homogéneo e ilimitado, por razones de utilidad, como no nos chocan los bailes y las funciones de teatro en favor de los tuberculosos pobres, a causa de la diferencia entre el concepto y la representación sensible, que queda anulada por el imperativo biológico.
La labor de Cayley y de Sylvester fue más analítica que geométrica, pero, dado el carácter de este cursillo, es más fácil trasladar al campo de la Geometría el concepto de invariante, que dejarlo en el dominio del Álgebra.
Los dos matemáticos se conocieron el año 1850, no como matemáticos, sino como abogados, y en verdad que debió de ser curiosa la entrevista. Cada uno de ellos conocía la labor del otro y ambos se profesaban mutua admiración, de la que nació en aquel momento una amistad perdurable.
La relación personal de ambos tuvo recíproca influencia de la que salió beneficiada la Matemática y perjudicada la Jurisprudencia. Sylvester pidió un puesto de profesor en la Escuela Militar de Woolwich, y no se lo dieron, lo que le obligó a seguir trabajando en la compañía de seguros. Cayley fue más afortunado, pues que la Universidad de Cambridge creó por entonces una nueva cátedra de Matemática de la que le encargaron, y entonces se casó con Susana Moline. Sylvester permaneció célibe, encerrado unos años más en una oficina, realizando una labor de burócrata que no se acomodaba a su temperamento, y, al vacar una plaza en el Gresham College de Londres, la solicitó, pero no se la dieron. En cambio, fue llamado por la Academia de Woolwich para sustituir al candidato que lo había derrotado antes, porque éste acababa de morir.
Sylvester conservó la cátedra de Woolwich hasta el año 1870 en que fue jubilado por imperativo legal, aunque estaba en plena actividad y en pleno vigor.
Al año siguiente la instrucción pública inglesa se libró de la tutela eclesiástica y Sylvester obtuvo rápidamente sus grados honoris causa, y con ellos volvió a América.
Los EE.UU. tenían a gala en aquellos días no importar de Europa más que la Matemática estrictamente indispensable para satisfacer sus necesidades industriales. La opinión de cierto profesor inglés que reconocía la belleza de la teoría de funciones de Bessel a pesar de que tenía algunas aplicaciones prácticas, hubiera sido inconcebible para un norteamericano del último tercio del siglo XIX y en cambio aplaudiría a Cicerón cuando alababa a sus conciudadanos porque "gracias a los dioses, no son como los griegos y saben limitar el estudio de la Matemática al dominio de las aplicaciones prácticas". Afortunadamente, el aludido profesor inglés no pronunció su frase ni en la Roma del siglo I antes de J. C. ni en la Nueva York del XIX, sino en la Inglaterra de hoy.

La presencia de Sylvester en Norteamérica cambió radicalmente su modo de pensar a este respecto. Con voluntad tesonera y paciencia ejemplar, explicó sus teorías analíticas, convencido de la fecundidad de la abstracción; y cuando en 1875 se fundó la Universidad de Baltimore, Gilman, que era el alma de ella, llama Sylvester, quien, durante diez años de una labor que diríase incompatible con su edad, educó a una multitud de estudiantes que determinaron el magnífico desarrollo que tiene actualmente la Matemática pura en los Estados Unidos.
Sylvester no se limitó a las lecciones magistrales de la cátedra, sino que realizó, además, una labor de divulgación y de extensión desde el American Journal of Mathematics , que fundó en 1875, provocando una verdadera revolución en la enseñanza de la Matemática, y cuando volvió a Inglaterra, en 1885, como profesor especial de Oxford, podía sentirse verdaderamente orgulloso de sí mismo. En la otra orilla del Atlántico quedaban una afición y un método que ya habían empezado a dar pruebas fidedignas de inmediatos frutos sazonados, y cuando en 1893 hubo de retirarse no ya por razones de carácter burocrático, sino biológico, porque era octogenario y estaba casi ciego, alcanzó a saber con legítima e íntima satisfacción que la semilla depositada por él daba ya frutos de bendición.
Murió en Londres el 15 de marzo de 1897. Dos años antes, el 26 de enero de 1895, habla muerto Cayley, dejando escritas novecientas sesenta y seis memorias, que ocupan trece volúmenes en cuarto de seiscientas páginas cada uno.

Capítulo Octavo

RIEMANN Y BOOLE




UNA REVOLUCIÓN EN GEOMETRIA Y UN PRONUNCIAMIENTO EN ÁLGEBRA
Los matemáticos ingleses de la primera mitad del siglo XIX sólo estudiaban lo que les interesaba particular y personalmente, como para distraerse, sin dar ninguna importancia a los problemas que preocupaban al resto de Europa, separada de ellos por una cinta de mar. Además de isla geográfica, Inglaterra era una isla matemática que vivía del jugo newtoniano. Un nacionalismo estrecho le impidió aceptar las teorías dé Leibniz, y la consecuencia fue que la Matemática inglesa quedó estancada durante un siglo: exactamente hasta el año 1812, en que se fundó la Sociedad Analítica de Cambridge, que puso remedio a tan lamentable estado de cosas. Claro es que sus fundadores tuvieron que enfrentarse con políticos de ignorancia ejemplar. Sirva de muestra el siguiente botón:
A principios del siglo XVII el Ministerio, de Hacienda inglés adoptó los bastoncitos de Neper para hacer las operaciones contables. Estos bastoncitos consistían en unas tiras rectangulares de madera de unos siete centímetros de largo por ocho, milímetros de ancho, divididas en nueve cuadrados por medio de líneas transversales, cada una de las cuales estaba encabezada por una cifra, y debajo de ésta sus productos por los números dígitos, escritos en los sucesivos cuadrados de modo que si el producto tiene dos cifras, la de las decenas se coloca en el triángulo superior de los dos en que cada diagonal divide el cuadrado. Mediante una manipulación engorrosa se hacía la multiplicación de los números de varias cifras; y en cuanto a la división tan complicada que constituía una verdadera tortura, hasta el punto de que solo la abordaban hábiles calculadores. Para ente absurdo sistema de operar, la burocracia inglesa creó una nube de escribientes, tenedores de libros y actuarios que se sucedieron por generaciones en las covachuelas del Ministerio hasta que un día, en tiempo de Jorge III (1760 - 1820), un ministro "revolucionario" tuvo la audacia de incoar un expediente para saber si debían seguir llevándose las cuentas por aquel procedimiento, análogo al de Robinson para tener al día el calendario en su isla desierta o cambiarse por otro más moderno. Se levantó tal tempestad de protestas que hubo que esperar hasta el año 1826 para que se decretara la desaparición de aquellos palitroques, cuyo número había crecido tan monstruosamente durante más de un siglo, que todavía en 1834 había tal cantidad que se planteó el problema de decidir lo que se iba a hacer con ellos. A cualquiera que no fuese un político conservador inglés se le hubiera ocurrido tirarlos, pero a un tory británico lo que se le ocurrió fue llevar a Westminster aquellos pedacitos de madera apolillados y podridos como si se tratara de una reliquia.
Era tan absurdo esto que, al fin, triunfó el sentido común y se dio la orden de quemarlos, pero clandestinamente para que no se alarmaran los conservadores. Los bastoncitos fueron arrojados a una estufa de la Cámara de los Lores donde se les prendió fuego, y como la madera era viejísima ardieron tan admirablemente que las llamas prendieron en los artesonados de la Cámara de los Lores, de ésta se propagó el fuego a la de los Comunes y a Inglaterra le costó la broma varios millones de libras esterlinas.
Los matemáticos alemanes, al revés que los ingleses, tenían más amplia visión; y a partir de las Disquisitiones Aritmeticae de Gauss, que se publicaron el primer año del siglo XIX, es interminable la lista de obras originales que aparecieron hasta 1855, fecha en que muere el princeps mathematicorum y queda roto el último lazo con la Matemática de la centuria anterior.
Una de los matemáticos que ilustran la primera mitad del siglo XIX es Bernardo Riemann, que nace en Breselenz, Hannover, el 17 de septiembre de 1826. Su padre, pastor luterano que tomó parte en las guerras napoleónicas, se hizo agricultor para subvenir a las necesidades de su familia: esposa v seis hijos, el segundo de los cuales fue Bernardo. Todos murieron jóvenes: el matemático cuando no había cumplido aún los cuarenta años. Algunos biógrafos de Riemann dicen que estas muertes prematuras no obedecen a ninguna tara hereditaria, sino a la escasa alimentación durante la infancia.
Siendo niño todavía, su padre fue nombrado pastor de Quiekborn, donde el pequeño Bernardo aprendió las primeras letras; y apenas tenía seis años cuando no sólo resolvía problemas de Aritmética elemental, sino que imaginaba otros más difíciles poniendo en más de un aprieto al maestro de escuela, y al cumplir los diez le dio lecciones de Matemática un profesional, Schulz, que no tardó en ir a remolque de su discípulo.
Al mismo tiempo que Riemann entraba en contacto con la Matemática en Alemania, un joven de veinte años abría un colegio privado en Inglaterra para enseñar esta ciencia. Se llamaba Jorge Boole y había nacido en Lincoln el 2 de noviembre de 1815. Como Riemann, era también de humilde origen. Su padre fue un modesto comerciante, uno de cuyos amigos, librero que sabía latín, enseñó a Jorge los secretos de la lengua del Lacio con tanta habilidad que cuando el que había de ser un gran matemático sólo contaba doce años, traducía a Virgilio en elegantes versos ingleses. Tan profundamente llegó a conocerlo que todos los escritos de Boole dejan traslucir su latinidad. Estudió después el griego, francés, alemán e italiano y, como era pobre, tuvo necesidad de ayudar económicamente a su padre, dedicándose a la enseñanza privada de la Matemática, que era la menos mal retribuida. Sólo quienes se han dedicado a esta labor, ingrata entre las más ingratas pueden comprender el suplicio de Boole explicando los manuales escolares de su época: malos y estúpidos. ¿Era aquello la Matemática?
Sin dirección, sin consejos, Boole leyó por su cuenta la Mecánica celeste de Laplace, que es una de las obras más difíciles de comprender si no se tiene una sólida preparación matemática, y luego la Mecánica analítica de Lagrange en la que no hay ni una sola figura que aclare el razonamiento. Su labor autodidacta de aquel tiempo cristalizó en una memoria sobre el cálculo de variaciones.
Riemann, en tanto, ingresaba en el Gimnasio de Lunenburgo, cuyo director, Schmalfuss, poseía una excelente biblioteca particular que puso a su disposición. El primer libro que cayó en sus manos fue la Teoría de números de Legendre: cerca de novecientas páginas, que Riemann devolvió a Schmalfuss a los seis días diciéndole sencillamente: "Es un libro admirable; lo he leído entero y lo he comprendido todo."
En 1846 fue a Gotinga, donde estudió Teología, pasando luego a Berlín, a cuya Universidad debió, su formación matemática, pues que fue discípulo de Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein, que dejaron en él huella profunda.
Dos años después estalló el movimiento democrático en Alemania y él, realista convencido, custodió personalmente al rey durante diez horas en un día difícil.
En la misma fecha, Boole publicaba The Mathematical analyse of Logic , que es una anticipación de su obra fundamental. Sus amigos le aconsejaron que fuera a Cambridge, pero él se negó. La famosa Universidad, rival de la de Oxford, cultivaba la Matemática ortodoxa, y en el cerebro de Boole bullían ideas que habrían de considerarse heréticas en el campo de las ciencias exactas tal como se entendían en la Inglaterra de entonces. Además, sus padres estaban a su cargo y continuó dando lecciones, por causas exclusivas de tipo económicas, con arreglo a un criterio impuesto; que ésta es una de las mayores torturas de la enseñanza privada. Como Lope de Vega, podía decir Boole:
... y pues que paga es justo

hablarle en necio para darle gusto.
Un año después fue nombrado profesor del Queen's College, que acababa de inaugurarse en Cork, Irlanda, y allí intimó con el catedrático de griego, con cuya hija María Everest se casó.
Riemann, en tanto, se doctoraba en Gotinga el año 1851, con una tesis titulada Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grosse , de la que Gauss dijo en su informe oficial: "Esta tesis es una prueba fidedigna de las profundas y penetrantes investigaciones del autor en el punto de que se trata y denuncia, al propio tiempo, un espíritu creador, activo, realmente matemático, y de fecunda originalidad. El lenguaje es claro y conciso y, en algunos pasajes, bello y elegante. La mayoría de los lectores hubieran preferido, sin duda, mayor claridad en la exposición; pero, en su conjunto, este trabajo es un estudio sustancial cuyo valor intrínseco no sólo satisface las condiciones exigidas en una tesis para el Doctorado, sino que las supera ampliamente."
Poco después empezó a preocuparse por los problemas de Física matemática. Antinewtoniano, Riemann dice que "se puede establecer una teoría matemática completa y bien determinada, que progrese partiendo de las leyes elementales de los puntos individuales hasta los fenómenos que se presentan en el plenum de la realidad, sin distinción entre la gravitación, la electricidad, el magnetismo o la termostática".
Estas palabras, que no hubiera desdeñado de firmar Clarke, habrían indignado a Newton, quien, con su característica soberbia, habría arremetido violentamente contra Riemann que, anticipándose a las actuales teorías físicas, rechazaba la acción a distancia, base fundamental de los Principia newtonianos, cuyo autor no toleraba que se orientase en una dirección deísta su creencia en una causa final metafísica de la Naturaleza.
Guiado por sus nuevas aficiones, Riemann presentó para su prueba de privat docent tres temas creyendo que, según la costumbre, la Universidad elegiría el primero de la terna; pero eligió el tercero porque se refería a una cuestión sobra la que Gauss, que presidía el Jurado, llevaba meditando sesenta años., los fundamentos de la Geometría.
Riemann, sorprendido por la elección, trabajó con intensidad sobrehumana y escribió a su padre confiándole sus inquietudes. No ignoraba que Gauss, de acuerdo con su costumbre que retrasó en más de una ocasión su influencia en la Matemática, dejaba transcurrir años y años antes de dar a conocer los resultados, siempre geniales, de sus meditaciones, y tenía la seguridad de que el gran matemático había profundizado con su sagacidad excepcional en aquella cuestión. Buena prueba de ello era lo ocurrido hacía veinticinco años con los trabajos de Bolyai sobre la geometría no-euclídea, pero, sacando fuerzas de flaqueza, preparó el tema en siete semanas y pidió fecha para exponerlo. Por aquellos días, Gauss cayó enfermo y hubo de retrasarse la prueba, retraso que ocasionó la casi simultaneidad en dar a conocer públicamente los dos matemáticos a quienes se contrae este ensayo sus obras fundamentales.
En 1854, en efecto, Riemann da su conferencia Über die Hypothesen welche der Geometrio zu Grunde liegen , y Boole publica An investigation into the laws of thought, on wich are founded the mathematioal theories of logic and probabilities . La memoria de Riemann es un folleto de pocas páginas; la investigación de Boole es un libro de muchas páginas; pero el primero produjo una revolución en la Geometría y el segundo sólo fue un pronunciamiento en Álgebra, aunque como todos los pronunciamientos, cuando el pronunciado no es tonto, tuvo, y tiene todavía, algunas buenas consecuencias.
Con una audacia de pensamiento que contrasta con la timidez de su carácter, Riemann, a quien le aterraba la idea de tener que hablar en público, presentó la Geometría bajo un aspecto completamente nuevo, que entusiasmó a Gauss y sigue entusiasmando aún a los matemáticos. Considera dicha ciencia como no-euclídea, haciéndola depender del concepto de medida, pero en el que hay algo más que una filosofía práctica de la Matemática, a la que aspiran hoy la Física teórica, la teoría de la relatividad y la mecánica de los quanta.
Riemann parte del concepto de multiplicidad como clase tal que todo elemento de ella se pueda caracterizar asignándole ciertos números en un orden determinado, que correspondan a propiedades numerables, y llega a la consecuencia, aceptada por la Matemática actual de que el espacio es una multiplicidad-número, preocupándose de lo que es el espacio, aunque este es no signifique nada en relación con el espacio.
Como, dado el carácter de este cursillo, no es posible entrar en detalles que exigen recursos de Matemática pura para ahondar en el pensamiento de Riemann, baste decir que con la concepción de éste hemos aprendido a no creer en ningún espacio como necesidad de la percepción y a creer, en cambio, en tantos espacios y Geometrías como sean convenientes para un fin determinado, y en que lo mismo que hay diferentes clases de líneas y superficies, hay diferentes especies de espacios de tres dimensiones y sólo la experiencia puede decirnos a qué especie pertenece el espacio en que vivimos.
Rompiendo con la tradición anterior y colocándose en un punto de vista general, sin descender a detalles, con aquilina visión panorámica de la Geometría, Riemann sentó las bases de la Física geometrizada de hoy.
La obra de Boole es de otra índole. Dice que el objeto de su libro es "estudiar las leyes fundamentales de las operaciones del espíritu por las cuales se cumple el razonamiento, expresarlas en el lenguaje del cálculo y, sobre esta base, establecer la ciencia lógica y construir su método, y hacer de éste, el fundamento de un procedimiento general para la aplicación de la doctrina matemática de las probabilidades y, por último, recoger de estos diversos elementos de verdades, sacados a la luz en el transcurso de estas investigaciones, algunos indicios verosímiles sobre la naturaleza y constitución del espíritu humano. ¿Es un error considerar esto como la verdadera ciencia de la Lógica que, poniendo ciertas leyes elementales, confirmadas por el propio testimonio del espíritu, nos permite deducir por procedimientos uniformes la cadena completa de sus consecuencias secundarias y facilita, por sus aplicaciones prácticas, métodos de una absoluta generalidad? Existen, en efecto, ciertos principios generales, fundados en la verdadera naturaleza del idioma, por los que queda determinado el uso de los símbolos, que no son sino elementos del lenguaje científico. Estos elementos son arbitrarios en un cierto límite; su interpretación es puramente convencional y tenemos la facultad de emplearlos en el sentido que nos plazca; pero esta facultad está limitada por dos condiciones indispensables: primera, que no nos apartemos nunca, durante el transcurso del razonamiento, del sentido que hayamos admitido convencionalmente, y segunda, que las leyes que rijan el proceso se basen de una manera exclusiva en dicho sentido, fijado de antemano, o en la significación de los símbolos empleados. Con arreglo a estos principios, todo acuerdo que pueda establecerse entre las leyes de los símbolos de la Lógica y las del Álgebra, sólo resultará de un previo acuerdo de procedimientos, y ambos dominios quedan, pues, distintos e independientes, pero sometidos cada uno de ellos a sus leyes y condiciones propias. Ahora bien; las investigaciones reales contenidas en las páginas que siguen, presentan la Lógica bajo su aspecto práctico, como un sistema de procedimientos ejecutados con el auxilio de símbolos que tienen una interpretación definida y sometidos a leyes exclusivamente fundadas en esta interpretación; pero que demuestran al mismo tiempo que estas leyes tienen idéntica forma que las de los símbolos generales del Álgebra con la única adición de que los símbolos de la Lógica están, además, sometidos a una ley especial a la que no lo están los de la cantidad".
La extensión de esta cita queda justificada por la excesiva importancia que se ha dado, y se da, a la Logística, habiendo llegado a decir Russell que Boole descubrió en su obra la Matemática pura; y desde 1904, año en que se celebró el II Congreso internacional de Filosofía de Ginebra, que adoptó la palabra Logística para designar esta rama de la Matemática, muchas han sido, y son, las discusiones sobre el tema.
Boole, fiel al programa que se había trazado, redujo la Lógica a una especie de Álgebra cuyos "razonamientos" son manipulaciones de fórmulas muy sencillas. Hasta entonces, la Lógica y la Matemática habían vivido aisladas una de otra o incluso ignorándose mutuamente. La Lógica se movía dentro del dominio que le habla asignado Aristóteles, y la Matemática, mejor dicho, ahora, las Matemáticas, en plural, era una colección de ciencias de tipo técnico, separadas en compartimentos estancos con arreglo a un criterio que persiste todavía en muchas partes: ciencia del número, ciencia de la magnitud, ciencia del espacio, ciencia del movimiento, etc., con una atomización incompatible con la síntesis unitaria de la Matemática desde la época cartesiana. Todas estas ramas solo tenían común el método, dándose el caso, verdaderamente peregrino, de que la Lógica, que pretendía estudiar todas las formas de la deducción, ignoraba el método deductivo de la Matemática.
Esto cambió, afortunadamente, a mediados del siglo XIX, en que, desaparecidos los tiempos que siguieron a Newton, nació un rigor demostrativo, una generalización y una independencia de espíritu sin precedentes. A principios del siglo XIX, Gauss tuvo la intuición de lo que iba a pasar, pero no se atrevió a descubrir su pensamiento. Si hubiera comunicado sus ideas a Lagrange, a Laplace y a Legendre, el triunvirato francés de las L, otra cosa hubiera sucedido y aquélla sí que habría sido una verdadera entente franco-alemana, porque aunque estos tres matemáticos vivieron en el primer tercio del siglo XIX, la mayor parte de sus obras son obras de preparación. La teoría de ecuaciones de Lagrange roturó el terreno en que Abel y Galois sembraron la semilla del Álgebra nueva; las investigaciones de Laplace sobre ecuaciones diferenciales fueron el preludio del desarrollo de la Física matemática, y los estudios de Cálculo Integral de Legendre inspiraron a Jacobi uno de los más fecundos recursos con que cuenta hoy el Análisis.
Una gran parte de la nueva orientación se debe a Riemann y a Boole; pero así como la obra de aquél es indiscutible y sus ideas parecen tener una solidez inquebrantable, las de éste se hallan todavía en la zona polémica. La revolución hecha por Riemann en Geometría, como todas las revoluciones triunfantes, ha sido codificada ya y tiene estado legal; pero el pronunciamiento de Boole no ha conseguido aún que sea reconocido universalmente y hay todavía sectores de opinión en los que no tiene representantes acreditados.
Nadie pone en duda hoy que la ampliación al espacio del concepto gaussiano de curvatura hecho por Riemann, aplicado especialmente al nuestro de tres dimensiones, hace posible el movimiento de las figuras sin deformación, punto en que se apoya el empirismo de Helmholtz, su sucesor inmediato en el orden histórico para establecer el axioma de libre movilidad en tomo al cual gira la filosofía matemática de Russell, si bien éste le ha dado una orientación logística, y todo el mundo está de acuerdo en que, gracias a Riemann, la asimilación kantiana de las formas intuitivas a las formas lógicas no sólo ha desaparecido, sino que la imaginación constructiva del matemático ha adquirido una libertad que no pudo entrever el filósofo de Königsberg, y empezamos ya a pensar en la conveniencia de no admitir la necesidad intrínseca de ninguna proposición primera.
En cambio, no todos los matemáticos están de acuerdo con Boole. Sin palabras, sin oraciones sintácticas, valiéndose únicamente de un idioma simbólico, Boole pretende resolver el debate pendiente desde Leibniz y Kant; niega los juicios sintéticos a priori, anula el papel de la inducción e intenta reducir la Matemática a la Lógica.
"Si al final, dice Brunschvicg en sus Etapes de la philosophie mathematique , ha parecido falaz la idea de apoyarse en la inteligibilidad del número entero positivo para justificar a prior¡ la verdad matemática, es porque hay contradicción entre la concepción aritmetista que procede de lo particular a lo general y las condiciones de la justificación a prior¡ que implican una deducción a partir de nociones más generales. El aritmetismo debe, por consiguiente, ser considerado como una etapa de un movimiento que, más allá de las formas especificas del número, se une a las formas universales del ser, movimiento que parece obedecer a la naturaleza del espíritu humano, puesto que es el mismo que hemos visto producirse del pitagorismo al aristotelismo. Pero la Lógica formal de Aristóteles sólo es el prototipo de la Logística contemporánea. En contacto con los métodos modernos, e imitando el algoritmo perfeccionado de la Matemática, la Logística ha manifestado una flexibilidad de análisis y una preocupación por el rigor de las que aquélla permanece infinitamente alejada. La Logística es una nueva técnica."
Pero esta técnica tiene graves inconvenientes. La hipertrofia del simbolismo, el aislamiento de la realidad, la ruptura de todo contacto con el mundo exterior, es tan peligrosa como los balones de oxígeno que se administran a los enfermos desahuciados: que lo mismo se muere por asfixia en una atmósfera de oxígeno puro que en una atmósfera de anhídrido carbónico; y aquí vienen como anillo al dedo estas palabras de Klein:, "Cuando se asciende a una montaña se va notando que la pureza de la atmósfera aumenta en cada momento; pudiera, pues, creerse que si se asciende indefinidamente el bienestar que se experimenta sería cada vez mayor. Todo el mundo sabe, sin embargo, que esto no ocurre, sino que, por el contrario, existe un límite de altura, pasado el cual la vida se hace imposible. Análogamente puede decirse que en la ascensión de los lógicos hacia la pureza científica eliminando la intuición, en lo posible, pues aun los símbolos de Peano tienen un resto de elementos intuitivos, se encuentran innegables ventajas; pero sólo hasta cierto límite, que no puede ser superado sin que el excesivo predominio de la Lógica produzca la esterilidad del razonamiento."
Boole y Riemann sobrevivieron pocos años al conocimiento de sus obras: diez el primero y doce el segundo. Los últimos de Boole se deslizaron plácidamente, sin que se encuentre en ellos nada digno de recordación especial. Fueron años dedicados a la investigación desinteresada y romántica, a la búsqueda de la Verdad por la Verdad, sin otro objetivo que la íntima satisfacción espiritual, hasta el último día de su vida: el 8 de diciembre de 1864, en que murió de una pulmonía ocasionada por una mojadura al ir a dictar una conferencia.
Los años finales de Riemann, en cambio, fueron accidentados. Obtenida la deseada licencia docente en 1854, y luego de un pequeño descanso con su familia en Quickborn, regresó a Gotinga, y el 9 de octubre de aquel año explicó su primera lección en la Universidad, y grande fue su sorpresa al encontrarse con ocho alumnos, pues él no esperaba más que dos o tres.
Al año siguiente murió Gauss y fue Dirichlet nombrado para sucederle. Los amigos de Riemann, sabedores de su talento matemático y también de sus inaplazables necesidades económicas, pidieron un puesto para él, pero la Universidad era pobre y sólo pudo ofrecerle un pequeño sueldo fijo, que Riemann, naturalmente aceptó.
A los pocos meses murieron su padre y su hermana Clara. Sus otras hermanas, comprendiendo que serían una carga para el modesto profesor, se fueron a vivir con su hermano mayor, empleado de Correos en Bremen y cuyos ingresos, comparados con los del matemático, eran enormes. Como decía el funcionario postal, su hermano era "un no valor económico". Y tenía razón. Dedicarse a la Matemática por la Matemática, sin otro objetivo que la persecución de la Verdad, sin otro aliciente que la emoción científica, sin otra mira que la de respirar el aire aséptico del pensamiento puro, sin otro interés que el de bañar el alma en la luz de la Idea, luz quieta, luz serena, como la luz cenital, que no proyecta sombras, ha sido, es y será una perfecta locura para los espíritus prácticos, terriblemente prácticos, que florecen en todas las latitudes con la espontaneidad con que brotan los cardos en las tierras arenosas.
El cerebro de Riemann, sometido a una presión excesiva, que no corría parejas con la subalimentación a que estaba sometido, sufrió un eclipse y los médicos le aconsejaron reposo. Afortunadamente, tenía un amigo en la accidentada región del Hartz y allá se marchó y allá fue también Dedekind, que era entonces profesor del Politécnico de Zurich. Paseando por la montaña, y discurriendo sobre temas que no exigían ningún esfuerzo mental, Riemann recobró la salud.
Al regresar a Gotinga fue nombrado profesor adjunto. Empezaba la liberación económica; pero diríase que el sino de Riemann era sufrir. Apenas había comenzado a disfrutar de una situación, modestísima, pero segura, murió su hermano y tuvo que atender al sostenimiento de sus hermanas. Una pirueta del destino le alivió la carga poco después: María, la menor, siguió a su hermano a la tumba, lo que hace pensar en dar la razón a quienes como se dijo al principio, atribuyen las prematuras muertes de los Riemann a la falta de alimentación adecuada en sus primeros años.
En 1859 quedó vacante la cátedra de Dirichlet, por fallecimiento de éste, 5 de mayo y la Universidad llamó a Riemann para sucederle, y, como a Gauss, lo alojó en el Observatorio astronómico. Ahora sí que parecía segura la liberación. El prestigio de Riemann había atravesado ya las fronteras de Alemania y la Royal Society de Londres y la Academia de Ciencias de París le nombraron miembro correspondiente.
Con este último motivo Riemann fue a la capital de Francia, en donde conoció personalmente a Hermite, que le profesaba honda admiración, el año 1860, fecha importante en la historia de la Física matemática porque marca una notable memoria de Riemann Sobre un problema relativo a la conducción del calor , en la que establece un sistema de formas diferenciales cuadráticas, en relación con sus investigaciones sobre los fundamentos de la Geometría, que, andando el tiempo, habrían de ser la base de la teoría de la relatividad.
Resuelto ya el problema económico, y sin la angustia diaria de la urgencia biológica, Riemann pensó en casarse. Tenía treinta y seis años cuando contrajo matrimonio con Elisa Koch, amiga de sus hermanas. Al mes de casado tuvo una pleuresía que le acarreó la tuberculosis.
Ante esta situación, sus amigos le consiguieron una bolsa de viaje, y aquel invierno, 1862, lo pasó en Italia. Regresó a Alemania en la primavera siguiente, pero cayó enfermo en seguida, y en agosto volvió en busca del cielo azul y del clima templado del mediodía, viéndose obligado a detenerse en Pisa, a causa de la fatiga que le producía el viaje. Allí nació su hija Ida.
El invierno siguiente fue tan excepcionalmente frío que hasta se helaron las aguas del Arno. La Universidad de Pisa ofreció una cátedra a Riemann, que éste no pudo aceptar por su lastimoso estado de salud; pero la de Gotinga le prolongó generosamente el permiso y hasta le envió un refuerzo económico que le permitió instalarse en una casita de campo de los alrededores de Pisa, donde murió su hermana Elena y donde él se agravó lamentablemente.
En vano intentó mejorar en Livorna y en Génova. Sintiendo la nostalgia de su patria, regresó a Gotinga en octubre de 1865; pero bien pronto se convenció de que su curación era imposible en Alemania y volvió a Italia, pasando sus últimos días en Selasca, a orillas del lago Mayor, donde murió el 20 de julio de 1866.
Dedekind, su colega y amigo, que profesaba al matemático tan grande admiración como cariño al hombre, cuenta su muerte con estas sencillas y emocionadas palabras: "Sus fuerzas declinaban rápidamente y comprendió que el final estaba próximo. El día antes de morir estudiaba a la sombra de una higuera y su alma estaba alegre ante el maravilloso paisaje; pero la vida se le escapaba dulcemente, sin lucha y sin agonía. Diríase que presenciaba con interés cómo se separaba el alma del cuerpo. Su esposa le dio un poco de pan y vino, y él le dijo entonces: "Dale un beso a nuestra hijita", y juntos empezaron a rezar el padrenuestro. Al llegar a "perdónanos nuestras deudas" Riemann alzó lentamente los ojos al cielo. Ella estrechó su mano, cada vez más fría, entre las suyas, y, luego de un suspiro muy hondo, dejó de latir aquel noble corazón. La dulzura que había respirado en su infancia no le abandonó nunca. Sirvió a Dios fielmente, como lo había servido su padre, pero de manera distinta."
El epitafio de la tumba que le erigieron sus amigos italianos termina con estas palabras en alemán: "Todas las cosas trabajan para el bien de los que aman al Señor."

Capítulo Noveno
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